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牛客网刷题：NC208813求逆序数

问题描述

在排序和数据结构分析中，逆序数是一个重要的概念。对于一个数列来说，如果一对数的前后位置与大小顺序相反（即前面的数大于后面的数），那么它们就称为一个逆序对。一个排列中所有逆序对的总数称为这个排列的逆序数。

例如：对于数列 [2, 4, 3, 1]，存在以下逆序对：

• (2, 1)：2 > 1，且 2 在 1 的前面
• (4, 3)：4 > 3，且 4 在 3 的前面
• (4, 1)：4 > 1，且 4 在 1 的前面
• (3, 1)：3 > 1，且 3 在 1 的前面

因此，该数列的逆序数为 4。

问题来源

• 链接：牛客网 NC208813
• 时间限制：C/C++/Rust/Pascal 1秒，其他语言2秒
• 空间限制：C/C++/Rust/Pascal 256 M，其他语言512 M

输入输出格式

输入格式

• 第一行为整数 N，表示数列的元素个数 (N ≤ 1000)
• 第二行为 N 个用空格隔开的整数，值在 int 范围内

输出格式

• 输出一个整数，表示逆序数的个数

示例

输入：

4
2 4 3 1

输出：

4

解题思路

本题要求统计数列中的逆序对数量。最直接的方法是使用两层循环遍历所有可能的数对，检查是否构成逆序对。

具体做法：

1. 读取数列长度 n 和所有元素
2. 使用两层循环，外层从 1 到 n，内层从 i+1 到 n
3. 对于每一对元素 (a[i], a[j])，如果 a[i] > a[j]，则逆序数加 1
4. 最后输出总的逆序数

代码实现

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){int n;cin>>n;int a[n];for(int i=1;i<=n;i++)cin>>a[i];int s=0;for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=i+1;j<=n;j++){if(a[i]>a[j])s+=1;else continue;}}cout<<s;return 0;
}

代码解析

1. 头文件和命名空间：

   #include<bits/stdc++.h>
   using namespace std;
   

   这里引入了标准库的所有内容，简化了编程过程。

2. 读取输入：

   int n;
   cin>>n;
   int a[n];
   for(int i=1;i<=n;i++)cin>>a[i];
   

   注意这里使用了从1开始的下标，这是一种编程习惯，在某些算法问题中比较常见。

3. 计算逆序对：

   int s=0;
   for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=i+1;j<=n;j++){if(a[i]>a[j])s+=1;else continue;}
   }
   

   两层循环遍历所有可能的数对，当发现 a[i] > a[j] 且 i < j 时，说明找到一个逆序对，计数器 s 加 1。

4. 输出结果：

   cout<<s;
   return 0;
   

   最后输出逆序数的总和。

复杂度分析

• 时间复杂度：O(n²)，其中 n 是数列的长度。需要两层循环来检查所有可能的数对。
• 空间复杂度：O(n)，用于存储数列的数组。

优化方向

虽然本题使用暴力方法可以通过（因为 n ≤ 1000），但对于更大规模的数据，我们可以考虑以下优化方法（不改变原代码）：

1. 归并排序：在归并排序过程中统计逆序对，时间复杂度可以优化到 O(nlogn)
2. 树状数组：利用树状数组可以在 O(nlogn) 的时间内统计逆序对
3. 线段树：同样可以在 O(nlogn) 时间内完成统计

小结

逆序数是排序算法分析中的重要概念，也是衡量一个序列"有序程度"的指标。本题使用了最直观的暴力方法来统计逆序对，虽然简单易懂，但在大规模数据下效率较低。在实际应用中，如果数据规模更大，建议使用更高效的算法如归并排序、树状数组或线段树来解决此类问题。

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希望这篇详解对你有所帮助！如有疑问，欢迎在评论区留言交流。