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1.2 标准 PSO 和 MFO 算法的算法基础

PSO，由 Kennedy 和 Eberhart 在 1995 年 [40] 提出，模拟了鸟类寻找食物的集体运动。候选解表示为粒子，基于个人最佳 $pbest$ 和全局最佳 $gbest$ 位置更新它们的速度。第 $i$ 个粒子在第 $t$ 次迭代中的速度 $v_i^t$ 和位置 $x_i^t$ 通过公式 1 和 2 更新，其中 $w$ 是惯性权重，$(c_1,c_2)$ 是加速系数，$(ran{d}_1,ran{d}_2)$ 是 [0,1] 之间的随机数。

$$v_i^{t+1}=w\cdot v_i^t+c_1\cdot ran{d}_1\cdot (pbes{t}_i^t-x_i^t)+c_2\cdot ran{d}_2\cdot (gbes{t}^t-x_i^t)\text{\hspace{1em}(1)}$$

$$x_i^{t+1}=x_i^t+v_i^{t+1}\text{\hspace{1em}(2)}$$

MFO [41] 受到蛾子利用月光导航的启发，被人工光源干扰。种群 ($M$) 由蛾子（代理）组成，而火焰 ($F$) 是排序后的 $M$，代表最佳位置。火焰 ($F_{no}$) 的数量随着迭代次数的增加而减少，以平衡探索和开发，使用公式 3。

$$F_{no}=\text{round}(n-t\ast \frac{n-1}{\text{maxIter}})\text{\hspace{1em}(3)}$$

第 $i$ 只蛾子在第 $t$ 次迭代中的位置 $M_i^t$ 使用对数螺旋方程更新，如公式 4 所示，其中第 $i$ 只蛾子围绕相应的第 $i$ 个火焰 $F_i^t$ 飞行，$b$ 是定义对数螺旋形状的常数，$r$ 是 [-1,1] 之间的随机数。这种方法通过确保火焰不会在迭代过程中固定在特定的蛾子上来保持多样性。

$$M_i^{t+1}=\{\begin{array}{ll}|F_i^t-M_i^t|\ast e^{b\cdot r}\ast \cos (2\pi r)+F_i^t& \text{if }t\le F_{no}\\ |F_i^t-M_i^t|\ast e^{b\cdot r}\ast \cos (2\pi r)+F_{no}^t& \text{otherwise}\end{array}\text{\hspace{1em}(4)}$$

Ling 等人开发了混合 HyMFPSO 算法，结合了 PSO 和 MFO，其在八个基准函数 (2-10 维) [42] 上的表现优于 PSO 和 MFO。在 HyMFPSO 中，PSO 速度 ($v_i^{t+1}$) 被添加到 MFO 位置更新中，如公式 5 所示。Shaikh 等人提出了 HMFPSO，这是 Hy-PSO-MFO 的改进版本，由 Yang 等人验证了基准函数和电力传输应用 [43]。HMFPSO 引入了基于 PSO 的局部吸引子 ($Q_i^t$)，用于蛾子位置更新，如公式 6 所示。$pBes{t}_i^t$ 和 $gbes{t}^t$ 代表局部和全局最佳火焰。
分别，$\varphi$ 是 [0, 1] 范围内的随机数 [43]。

$$Q_i^t=\varphi \times pBes{t}_i^t+(1-\varphi )\times gbes{t}^t\text{\hspace{1em}(5)}$$

$$M_i^{t+1}=|F_i^t-M_i^t|\times e^{b\times r}\times \cos (2\pi r)+Q_i^t\text{\hspace{1em}(6)}$$

2 提出的蛾火焰粒子群优化 (MFPSO) 算法

标准 PSO 算法存在过早收敛问题，可能会陷入局部最小值 [14]。粒子速度基于局部和全局最优值进行更新。粒子位置仅基于粒子速度进行更新，这增加了过早收敛的可能性。

2.1 提出的 MFPSO 算法的概念及其方程

提出的蛾火焰粒子群优化 (MFPSO) 算法旨在通过整合粒子群优化 (PSO) 和蛾火焰优化 (MFO) 算法的元素来改进原始 PSO 的性能。MFO 算法，受蛾子自然导航行为的启发，在探索方面表现出色，这是由于其火焰更新机制 [41]。通过结合 MFO 的强探索能力和 PSO 的强开发能力，MFPSO 算法旨在避免标准 PSO 中的过早收敛，并实现探索与开发之间的更好平衡。

在 MFPSO 算法中，将 PSO 中的粒子速度概念整合到蛾子的 MFO 算法中。MFPSO 的种群由一组蛾子组成，每只蛾子由速度 $v_i^{(t)}$ 和位置 $x_i^{(t)}$ 定义，其中 $i$ 表示第 $i$ 只蛾子，$d$ 表示第 $d$ 维，$t$ 是迭代次数。每蛾只子的位置代表候选解，对应于速度控制应用中的 PID 参数。火焰种群 $F$ 由基于适应度值排序的蛾子组成，$f_i^{(t)}$ 表示第 $i$ 只火焰在第 $t$ 次迭代中第 $d$ 维的位置。

蛾子的速度 $v_i^{(t)}$ 根据当前蛾子位置 $x_i^{(t)}$、整个种群中全局最佳蛾子位置 $gbes{t}_d$ 和第 $i$ 只蛾子的个人最佳位置 $pbes{t}_{i,d}$ 的差异步长进行更新。方程 8 显示了蛾子的速度更新，其中$v$ 是惯性权重，$r_1$ 和 $r_2$ 是 [0,1] 范围内的随机数，$c_1$ 和 $c_2$ 是加速系数，影响个人最佳位置和全局最佳位置的影响。这种机制反映了 PSO 算法中的速度更新。

$$v_{i,d}^{(t+1)}=w\cdot v_{i,d}^{(t)}+c_1\cdot r_1\cdot (pbes{t}_{i,d}-x_{i,d}^{(t)})+c_2\cdot r_2\cdot (gbes{t}_d-x_{i,d}^{(t)})\text{\hspace{1em}(8)}$$

MFPSO 算法的主要思想是结合 MFO 的探索能力与 PSO 在蛾子位置更新中的开发能力，从而提高性能并防止过早收敛。蛾子种群被分为两组。在第一组中，位置 $x_{i,d}^{(t+1)}$ 根据新计算的速度 $v_{i,d}^{(t+1)}$ 更新。在第二组中，位置基于围绕相应目标火焰位置 $P_{i,d}^{(t)}$ 的对数螺旋运动更新。混合位置更新方程由公式 9 给出，其中 $b$ 是定义螺旋形状的常数（设为 1），$l_{i,d}$ 是 $i$ 只蛾子的第 $d$ 维的随机数，范围为 [-1,1]。

$$x_{i,d}^{(t+1)}=\{\begin{array}{ll}{x}_{i,d}^{(t)}+v_{i,d}^{(t+1)},& \text{if rand}\le 0.5\\ |P_{i,d}^{(t)}+|x_{i,d}^{(t)}-P_{i,d}^{(t)}|\cdot e^{b\cdot l_{i,d}}\cdot \cos (2\pi \cdot l_{i,d}),& \text{otherwise}\end{array}\text{\hspace{1em}(9)}$$

目标火焰的数量 $F_{no}$ 随着每次迭代而减少，从种群大小开始，如公式 3 所示。第 $i$ 个目标火焰位置 $P_{i,d}^{(t)}$ 的第 $d$ 维由公式 10 确定，其中 $t$ 是迭代次数，$f_{i,d}^{(t)}$ 表示第 $i$ 个火焰的位置的第 $d$ 维，$f_{F_{no},d}^{(t)}$ 表示位于种群中 $F_{no}$ 索引的蛾子的第 $d$ 维位置。

$$p_{i,d}^{(t)}=\{\begin{array}{ll}{f}_{i,d}^{(t)},& \text{if }t\le F_{no}\\ f_{F_{no},d}^{(t)},& \text{otherwise}\end{array}\text{\hspace{1em}(10)}$$

2.2 MFPSO 算法的逐步描述

算法 1 描述了 MFPSO 算法的步骤，图 1 显示了 MFPSO 序列的流程图。首先，初始化 MFPSO 参数，包括惯性权重和加速系数。MFPSO 算法的第二步初始化包含所有候选解的随机种群 $M$，其中 $nPop$ 是种群大小。每只蛾子有两个属性：位置 $x_i$，代表解决方案本身（例如，PID 参数），以及速度 $v_i$，这是从 PSO 算法继承的特征，用于位置更新。