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用来复健单调队列优化 dp 的，对它也加深了一些理解。

1.Mowing the Lawn

题意

在一年前赢得了小镇的最佳草坪比赛后，Farmer John 变得很懒，再也没有修剪过草坪。现在，新一轮的最佳草坪比赛又开始了，Farmer John 希望能够再次夺冠。

然而，Farmer John 的草坪非常脏乱，因此，Farmer John 只能够让他的奶牛来完成这项工作。Farmer John 有 $n$（$1\le n\le 10^5$）只排成一排的奶牛，编号为 $1\sim n$。每只奶牛的效率是不同的，奶牛 $i$ 的效率为 $a_i$（$0\le a_i\le 10^9$）。

靠近的奶牛们很熟悉，因此，如果 Farmer John安排超过 $K$ 只连续的奶牛，那么，这些奶牛就会罢工去开派对。因此，现在 Farmer John 需要你的帮助，计算 FJ 可以得到的最大效率，并且该方案中没有连续的超过 $k$ 只奶牛。

思路

设 $f_{i,op}$ 表示，第 $i$ 头奶牛选（$op=1$）或不选（$op=0$）的方案数。那么：
fi,0=max⁡(fi−1,0,fi−1,1)fi,1=max⁡{fj,0+si−sj},i−j≤k\begin{matrix} f_{i,0}=\max(f_{i-1,0},f_{i-1,1})\\ f_{i,1}=\max\{f_{j,0}+s_i-s_j\},i-j\le k \end{matrix}fi,0​=max(fi−1,0​,fi−1,1​)fi,1​=max{fj,0​+si​−sj​},i−j≤k​

其中 $s_i$ 表示 $\sum _{k=1}^i{a}_k$。

对于 fi,1=max⁡{fj,0+si−sj}f_{i,1}=\max\{f_{j,0}+s_i-s_j\}fi,1​=max{fj,0​+si​−sj​}，$s_i$ 提出来得到：fi,1=si+max⁡{fj,0−sj}f_{i,1}=s_i+\max\{f_{j,0}-s_j\}fi,1​=si​+max{fj,0​−sj​}。还有个限制等价为 $j\ge i-k$，发现限制单调递增。因此可以用单调队列维护决策点 $j$。

回忆一下单调队列优化 dp 的基本步骤：弹出越界队首、加入所需元素、获取答案。每次最优决策点取队首，加入新决策点进队尾：

• $q[head]<i-k$ 就弹出队首；
• $f[q[tail]][0]-s[q[tt]]<f[i][0]-s[i]$ 说明队尾不如决策 $i$ 更优，因此弹出队尾。

答案就是 $\max (f_{n,0},f_{n,1})$。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
const ll N=1e5+9;
ll n,k,a[N];
ll s[N],q[N],f[N][2];
int main()
{scanf("%lld%lld",&n,&k);for(int i=1;i<=n;i++){scanf("%lld",&a[i]);s[i]=s[i-1]+a[i];}ll hh=0,tt=0;for(int i=1;i<=n;i++){f[i][0]=max(f[i-1][0],f[i-1][1]);while(hh<=tt&&q[hh]<i-k)hh++;f[i][1]=f[q[hh]][0]+s[i]-s[q[hh]];while(hh<=tt&&f[q[tt]][0]-s[q[tt]]<f[i][0]-s[i])tt--;q[++tt]=i;}printf("%lld",max(f[n][0],f[n][1]));return 0;
}

2.Little Bird

题意

有 $n$ 棵树排成一排，第 $i$ 棵树的高度是 $d_i$。

有 $q$ 只鸟要从第 $1$ 棵树到第 $n$ 棵树。当第 $i$ 只鸟在第 $j$ 棵树时，它可以飞到第 $j+1,j+2,\cdots ,j+k_i$ 棵树。

如果一只鸟飞到一颗高度大于等于当前树的树，那么它的劳累值会增加 $1$，否则不会。由于这些鸟已经体力不支，所以它们想要最小化劳累值。

$1\le n\le 10^6$，$1\le d_i\le 10^9$，$1\le q\le 25$，$1\le k_i\le n-1$。

思路

设 $f_i$ 表示鸟飞到第 $i$ 棵树的最小劳累值。那么：
fi=min⁡{fj+[aj≤ai]},i−j≤kf_i=\min\{f_j+[a_j\le a_i]\},i-j\le kfi​=min{fj​+[aj​≤ai​]},i−j≤k

同样将限制转化为 $j\ge i-k$，限制单调递增，用单调队列维护决策点。

• $q[head]<i-k$ 就弹出队首；
• $f[q[tail]]+[a[q[tail]]\le a_i]>f_i$，比更新后的当前值小，直接推出队尾。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
const ll N=1e6+9;
ll n,a[N],Q;
ll f[N],q[N];
int main()
{scanf("%lld",&n);for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%lld",&a[i]);scanf("%lld",&Q);while(Q--){memset(f,0,sizeof(f));memset(q,0,sizeof(q));ll k;scanf("%lld",&k);ll hh=0,tt=0;q[0]=1;for(int i=2;i<=n;i++){while(hh<=tt&&q[hh]<i-k)hh++;f[i]=f[q[hh]]+(a[q[hh]]<=a[i]);while(hh<=tt&&f[q[tt]]+(a[q[tt]]<=a[i])>f[i])tt--;q[++tt]=i;}printf("%lld\n",f[n]);}return 0;
}