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这段代码实现了一个经典的0-1 背包问题的动态规划解法。0-1 背包问题是指给定一组物品，每个物品有其体积和价值，要求在不超过背包容量的情况下，选择物品使得总价值最大。以下是代码的详细思路解析：

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1. 问题背景

给定 n 个物品，每个物品有其体积 v[i] 和价值 w[i]，以及一个容量为 m 的背包。目标是选择物品使得总价值最大，同时总容量不超过背包的容量。

2. 动态规划的概念

动态规划是一种常用的算法技巧，用于解决具有重叠子问题和最优子结构的问题。在 0-1 背包问题中，动态规划通过维护一个二维数组 f 来记录不同状态下的最大价值。

3. 代码逻辑解析

(1) 输入数据

cin >> n >> m;
for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> v[i] >> w[i];

• 用户输入物品数量 n 和背包容量 m。

• 对于每个物品，输入其体积 v[i] 和价值 w[i]。

(2) 动态规划状态转移

for (int i = 1; i <= n; i++)for (int j = 0; j <= m; j++){f[i][j] = f[i - 1][j];  // 不选择第 i 个物品if (j >= v[i]) f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - v[i]] + w[i]);  // 选择第 i 个物品}

1. 外层循环：

   • 遍历每个物品，从第 1 个到第 n 个。

2. 内层循环：

   • 遍历背包的每个容量，从 0 到 m。

3. 状态转移：

   • f[i][j] 表示前 i 个物品在容量为 j 的背包下的最大价值。

   • 不选择第 i 个物品：f[i][j] = f[i - 1][j]，即前 i-1 个物品在容量为 j 的背包下的最大价值。

   • 选择第 i 个物品：如果当前容量 j 大于等于第 i 个物品的体积 v[i]，则可以考虑选择第 i 个物品，更新 f[i][j] 为 f[i - 1][j - v[i]] + w[i]，即前 i-1 个物品在容量为 j - v[i] 的背包下的最大价值加上第 i 个物品的价值。

(3) 输出结果

cout << f[n][m] << endl;

• 输出最终的最大价值，即 f[n][m]。

4. 代码效率分析

• 时间复杂度：

  • 两层循环遍历所有物品和所有容量，时间复杂度为 O(n × m)。

• 空间复杂度：

  • 使用了一个二维数组 f，空间复杂度为 O(n × m)。

5. 示例运行

输入：

3 5
1 2
2 3
3 4

运行过程：

1. 输入数据：

   • n = 3, m = 5

   • v = [1, 2, 3], w = [2, 3, 4]

2. 动态规划状态转移：

   • 初始化 f[0][j] = 0，表示没有物品时的最大价值为 0。

   • 对于第 1 个物品：

     • f[1][0] = 0

     • f[1][1] = 2

     • f[1][2] = 2

     • f[1][3] = 2

     • f[1][4] = 2

     • f[1][5] = 2

   • 对于第 2 个物品：

     • f[2][0] = 0

     • f[2][1] = 2

     • f[2][2] = 3

     • f[2][3] = 5

     • f[2][4] = 5

     • f[2][5] = 5

   • 对于第 3 个物品：

     • f[3][0] = 0

     • f[3][1] = 2

     • f[3][2] = 3

     • f[3][3] = 5

     • f[3][4] = 6

     • f[3][5] = 7

输出：

7

6. 总结

这段代码的核心思路是通过动态规划解决 0-1 背包问题。通过维护一个二维数组 f，记录不同状态下的最大价值，并通过状态转移方程更新最大价值，最终找到在给定背包容量下的最大价值。这种方法的时间复杂度为 O(n × m)，适用于中等规模的 0-1 背包问题。

完整代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;// 定义数组的最大长度
const int N = 1010;
// n 表示物品的数量，m 表示背包的容量
int n, m;
// v 数组存储每个物品的体积，w 数组存储每个物品的价值
int v[N], w[N];
// f 数组是二维数组，f[i][j] 表示前 i 个物品，背包容量为 j 时能获得的最大价值
int f[N][N];int main()
{// 输入物品的数量 n 和背包的容量 mcin >> n >> m;// 循环读入每个物品的体积和价值for(int i = 1; i <= n; i ++) cin >> v[i] >> w[i];// 动态规划过程，外层循环遍历每个物品for(int i = 1; i <= n; i ++)// 内层循环遍历背包的所有可能容量for(int j = 0; j <= m; j ++){// 不选择第 i 个物品，那么前 i 个物品在容量为 j 的背包中的最大价值// 就等于前 i - 1 个物品在容量为 j 的背包中的最大价值f[i][j] = f[i - 1][j];// 如果当前背包的容量 j 大于等于第 i 个物品的体积 v[i]// 说明可以选择放入第 i 个物品if(j >= v[i]) // 比较不放入第 i 个物品和放入第 i 个物品两种情况下的最大价值// 放入第 i 个物品的价值为 f[i - 1][j - v[i]] + w[i]f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - v[i]] + w[i]);}// 输出前 n 个物品，背包容量为 m 时能获得的最大价值cout << f[n][m] << endl;return 0;
}