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伯特兰德寡头模型(Bertrand Model)

0 引言

在前面几篇文章中，我们介绍了古诺模型(Cournot duopoly model)和斯塔克尔伯格模型(Stackelberg model)
博弈论——连续产量古诺模型(Cournot duopoly model)
博弈论——斯塔克尔伯格模型(Stackelberg model)

这两个模型都是把厂商的产量作为竞争手段，是一种产量竞争模型，也就是说博弈方的决策变量都是产量，而伯特兰德模型是价格竞争模型。
同时我们也介绍了反应函数法：得益是策略多元连续函数的博弈,都可以求每个博弈方的反应函数，解出各博弈方反应函数的交点就是纳什均衡。这种用反应函数求纳什均衡的方法,称为“反应函数法”。我们也分别用反应函数对古诺模型和斯塔克尔伯格模型进行了求解。
在这篇文章中，我们将继续推进反应函数法的使用，利用该方法来求解伯特兰德模型。

1 伯特兰德寡头模型

1.1 模型建立

在伯特兰德价格博弈模型中，两寡头生产有一定差别的产品。产品差别指在品牌、质量和包装等方面有所不同的同类产品,有很强的替代性,但又不是完全可替代。最后,仍强调两个厂商是同时决策的。假设厂商1生产产品1，厂商2生产产品2。
产品价格：P1、P2分别为厂商1、厂商2的产品价格；
潜在市场规模：a1、a2分别为产品1、产品2的潜在市场规模；
生产成本：假设两个厂商无固定成本,边际生产成本分别为c1和c2；
价格弹性：b1、b2为产品1、产品2的价格弹性；
产品的替代系数：d1、d2为两个产品的替代系数。
根据上述参数设置，我们得到了以下的模型：
假设当厂商1和厂商2价格分别为P1和 P2时,各自的需求函数为：
$$q_1=q_1(P_1,P_2)=a_1-b_1{P}_1+d_1{P}_2$$

$$q_2=q_2(P_1,P_2)=a_2-b_2{P}_2+d_2{P}_1$$
    在该博弈中,两博弈方的决策变量为产品价格，因此各自的策略空间为$s_1=[0，P_{1max}]$和$s_2=[0，P_{2max}]$,其中$P_{1max}$和$P_{2max}$是厂商1和厂商2还能卖出产品的最高价格。两博弈方的得益是各自的利润,即销售收益减去成本,它们都是双方价格的函数为:
$${\pi }_1={\pi }_1(P_1,P_2)=P_1{q}_1-c_1{q}_1=(P_1-c_1)(a_1-b_1{P}_1+d_1{P}_2)$$

$${\pi }_2={\pi }_2(P_1,P_2)=P_2{q}_2-c_2{q}_2=(P_2-c_2)(a_2-b_2{P}_2+d_2{P}_1)$$

1.2 模型求解

我们用反应函数法分析这个博弈。对上述得益函数求偏导，并且偏导为0时存在最大值：
$$\frac{\partial {\pi }_1}{\partial P_1}=-2b_1{P}_1+c_1{b}_1+a_1+d_1{P}_2$$
$$\frac{\partial {\pi }_2}{\partial P_2}=-2b_2{P}_2+c_2{b}_2+a_2+d_2{P}_1$$
令$\frac{\partial {\pi }_1}{\partial P_1}=0$，$\frac{\partial {\pi }_2}{\partial P_2}=0$得到两个厂商的反应函数为：
$$P_1=R_1(P_2)=\frac{1}{2b_1}(c_1{b}_1+a_1+d_1{P}_2)$$
$$P_2=R_2(P_1)=\frac{1}{2b_2}(c_2{b}_2+a_2+d_2{P}_1)$$
    回顾一下我们在反应函数文章中的介绍，该博弈的纳什均衡是两条反应函数对应图像的交点$(P_1^{\ast },P_2^{\ast })$,并且这个交点需要满足：
$$P_1^{\ast }=\frac{1}{2b_1}(c_1{b}_1+a_1+d_1{P}_2^{\ast })$$
$$P_2^{\ast }=\frac{1}{2b_2}(c_2{b}_2+a_2+d_2{P}_1^{\ast })$$
解上述的二元一次方程组，得：
$$P_1^{\ast }=\frac{d_1(a_2+b_2{c}_2)+2b_2(a_1+c_1{b}_1)}{4b_1{b}_2-d_1{d}_2}$$
$$P_2^{\ast }=\frac{d_2(a_1+c_1{b}_1)+2b_1(a_2+b_2{c}_2)}{4b_1{b}_2-d_1{d}_2}$$
则$(P_1^{\ast },P_2^{\ast })$为该博弈的唯一纳什均衡。将$P_1^{\ast }、P_2^{\ast }$代入得益函数中，可以求得两个厂商的均衡得益，这里我就不再赘述了，有兴趣的读者可以自行代入计算。

谢老师的书中，对该模型的各参数做了具体假设： $a_1=a_2=28，b_1=b_2=1,d_1=d_2=0.5，c_1=c_2=2$，则可以解得$P_1^{\ast }=P_2^{\ast }=20，u_1^{\ast }=u_2^{\ast }=324$。

2 总结

更一般的伯特兰德模型可以有n个寡头,产品也可以是无差别的。产品无差别时,可以考虑消费者对价格的敏感性问题。因为如果所有消费者对价格都非常敏感,则生产无差别产品的厂商中价格高的一方完全卖不出去,价格差别不可能存在。多寡头伯特兰德模型的分析是两寡头模型的简单推广,只需求出每个厂商对其他各个厂商价格的反应函数,解出它们的交点即可。