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230. 二叉搜索树中第 K 小的元素

由于中序遍历就是在从小到大遍历节点值，所以遍历到的第 k 个节点值就是答案。

一、算法逻辑（逐步通顺讲解每一步思路）

该题目要求在一棵 二叉搜索树（BST） 中找到第 k 小的元素。

我们知道 BST 的中序遍历（左→根→右）会生成一个升序序列，因此，只要对整棵树进行中序遍历，并记录遍历到的第 k 个节点的值，即可得到答案。

该算法的流程如下：

✅ 1️⃣ 定义辅助变量：

• ans 用于记录第 k 小的元素；

• k 是倒计时变量，每访问一个节点就减 1。

✅ 2️⃣ 定义中序遍历函数 dfs(node)：

• 遇到空节点时返回；

• 优先递归访问左子树；

• 每访问一个节点，就将 k -= 1；

• 如果此时 k == 0，说明当前节点就是第 k 小的元素，将其值赋给 ans；

• 然后递归右子树。

✅ 3️⃣ 使用 nonlocal 保证在递归过程中能修改外部变量 k 和 ans。

✅ 4️⃣ 当 k == 0 时，整个递归过程中都会提前跳出剩余分支，从而实现剪枝加速。

✅ 5️⃣ 遍历完成后，返回记录的 ans 即可。

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二、核心点总结

该算法的核心在于：

利用 BST 的中序遍历特性，使节点值按升序访问，倒数计数直到第 k 个元素，即为结果。

✅ 利用了 BST 的有序性，不需要额外排序；
✅ 通过中序遍历直接按顺序找到第 k 个元素；
✅ 使用 k == 0 作为提前剪枝条件，节省时间；
✅ 用 nonlocal 管理共享变量，递归写法清晰优雅。

class Solution:def kthSmallest(self, root: Optional[TreeNode], k: int) -> int:ans = 0def dfs(node:Optional[TreeNode]) -> None:nonlocal k, ansif node is None or k == 0:return dfs(node.left)k -= 1if k == 0:ans = node.valdfs(node.right)dfs(root)return ans

三、时间复杂度分析

最坏情况：树是单链结构，或者 k 是最后一个元素

• 最多访问 k 个节点就能得到答案

• 所以时间复杂度为：

O(k) —— 只需访问前 k 小的节点

最坏情况下若 k = n（整棵树都得遍历），则为 O(n)

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四、空间复杂度分析

空间消耗来自递归栈：

• 最多递归树的高度层数，设为 h

• 平衡树的高度约为 log n，最坏是 n（单链）

因此空间复杂度为：

O(h)，即树的高度，最坏为 O(n)，平均为 O(log n)

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✅ 总结一句话

该算法借助 BST 中序遍历的升序性质，使用递归计数方式高效找出第 k 小元素，时间复杂度为 O(k)，空间复杂度为 O(h)。是 BST 场景下选第 k 小/大元素的经典且高效做法。