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理解计算-第3.2节

实验课：非确定性有限自动机

实验目标

• 理解非确定性有限自动机（NFA）的概念及其与确定性有限自动机（DFA）的区别。
• 掌握 NFA 中非确定性的体现：多重可能性和没有可能性。
• 学习 NFA 中自由移动（$ϵ$ 转移）的概念。
• 理解 NFA 如何通过至少一条接受路径来接受字符串。
• 掌握通过跟踪所有可能当前状态来模拟 NFA 的策略。
• 能够设计 Python 类来表示 NFA 的规则和自动机本身。

实验背景

在之前的课程中，我们学习了确定性有限自动机（DFA）。DFA 的特点是对于任何给定的状态和输入字符，其下一个状态是唯一确定的。然而，在某些情况下，这种确定性可能会限制我们设计能够识别特定模式的自动机的灵活性。

本节将介绍非确定性有限自动机（NFA），它通过放宽确定性约束，为我们提供了更强大的建模能力。

实验材料

• 本实验指导文档。
• 第 3.2 节的文本内容，特别是图 3.4、图 3.5 和图 3.8。
• Python 编程环境。

实验步骤

任务一：理解非确定性

1. 阅读第 3.2 节中关于非确定性的介绍，重点理解 NFA 与 DFA 在状态转移上的不同。
2. 研究图 3.5 中的 NFA，该自动机接受倒数第三个字符为 ‘b’ 的字符串。
   • 分析从状态 1 开始，读取字符 ‘b’ 时可能发生的转移。
   • 思考当 NFA 处于某个状态时，对于某个输入字符，可能没有定义任何转移的情况。
   • 讨论 NFA 如何接受一个字符串（存在至少一条到达接受状态的路径）。
   • 思考如何用 Python 表示 NFA 的规则？ 可以考虑使用类来表示规则，每个规则包含当前状态、输入字符和下一个可能的状态。

任务二：模拟 NFA 的思路

1. 回顾第 3.2 节中提到的三种模拟 NFA 的思路：递归尝试、并行模拟和跟踪所有可能状态。
2. 重点理解“跟踪所有可能当前状态”的模拟策略。
   • 分析文本中对输入字符串 ‘bab’ 在图 3.5 的 NFA 上的模拟过程。
   • 思考如何在 Python 中使用集合 (Set) 来表示 NFA 的当前可能状态？
   • 思考如何根据当前状态集合和输入字符，计算出下一个可能的状态集合？ 这需要遍历当前状态集合，并根据规则找到所有可能的后续状态。

任务三：设计 NFA 的规则类 (FARule)

1. 根据第 3.2 节中对规则的描述，设计一个 Python 类 FARule 来表示 NFA 的一个转移规则。
   • 该类应该包含哪些属性？（例如：当前状态、输入字符、下一个状态）
   • 实现一个方法 applies_to(state, character)，用于判断该规则是否适用于给定的状态和输入字符。
   • 实现一个方法 follow()，用于返回规则的下一个状态。
   • 实现 __repr__ 方法，方便打印规则信息。

任务四：设计 NFA 的规则手册类 (NFARulebook)

1. 设计一个 Python 类 NFARulebook 来管理 NFA 的所有规则。
   • 该类应该包含一个存储规则的列表。
   • 实现一个方法 next_states(states, character)，该方法接收一个当前状态的集合和一个输入字符，返回一个包含所有可能的下一个状态的集合。
     • 提示： 这个方法需要遍历输入的状态集合，对于每个状态，找到所有适用于当前输入字符的规则，并收集这些规则的下一个状态。
   • 实现一个辅助方法 follow_rules_for(state, character)，该方法接收一个状态和一个输入字符，返回一个包含所有可能的下一个状态的列表。
   • 实现一个辅助方法 rules_for(state, character)，该方法接收一个状态和一个输入字符，返回一个包含所有适用规则的列表。

任务五：设计 NFA 类 (NFA)

1. 设计一个 Python 类 NFA 来表示非确定性有限自动机。
   • 该类应该包含哪些属性？（例如：当前状态集合、接受状态集合、规则手册）
   • 实现一个方法 accepting()，用于判断当前状态集合中是否包含任何接受状态。
   • 实现一个方法 read_character(character)，该方法接收一个输入字符，并根据规则手册更新当前可能的状态集合。
   • 实现一个方法 read_string(string)，该方法接收一个输入字符串，并依次处理字符串中的每个字符，更新 NFA 的状态。

任务六：处理自由移动 (Free Moves / $ϵ$ 转移)

1. 阅读第 3.2 节中关于自由移动的介绍和图 3.8 的示例。
2. 理解自由移动是指在不读取任何输入字符的情况下，NFA 可以自发地进行状态转移。
3. 思考如何在 FARule 类中表示自由移动的规则？ （提示：可以使用 None 或其他特殊值来表示没有输入字符）
4. 思考如何在 NFARulebook 类中实现 follow_free_moves(states) 方法？ 该方法接收一个状态集合，并返回通过零个或多个自由移动可以到达的所有状态的集合。这可能需要一个循环或递归的过程。
5. 修改 NFA 类的 current_states 属性（或者添加一个方法），以确保当前可能的状态集合始终包含通过自由移动可以到达的所有状态。这需要在 NFA 初始化时以及每次读取字符后进行处理。

任务七：设计 NFADesign 类**

1. 设计一个 Python 类 NFADesign，用于封装 NFA 的初始状态、接受状态和规则手册。
2. 实现一个方法 to_nfa()，该方法创建一个新的 NFA 实例，并设置其初始状态（需要考虑自由移动的影响）。
3. 实现一个方法 accepts(string)，该方法创建一个 NFA 实例，读取给定的字符串，并返回该 NFA 是否接受该字符串。

实验讨论与分析

1. 比较设计识别“第三个字符是 ‘b’”的 DFA 和 NFA 的难易程度。
2. 讨论 NFA 中非确定性的优势和劣势。
3. 解释为什么在模拟 NFA 时需要跟踪一个状态的集合，而不是像 DFA 那样只跟踪一个当前状态。
4. 思考自由移动在 NFA 设计中的作用和意义。

实验结论

通过本次实验，你应该理解了非确定性有限自动机（NFA）的概念，掌握了 NFA 与 DFA 的主要区别，并了解了如何通过编程来模拟 NFA 的行为。NFA 是理论计算机科学中的一个重要概念，它在模式匹配、编译器设计等领域有着广泛的应用。