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核心

1. 欧拉角描述的是一种变换，只关注变换后的结果，不关注变换过程中的运动
   而四元数不仅良好地表示了一种变换，也很好地表示了一种运动过程，又避免了万向节死锁Gimbal Lock
2. 变换顺序，是欧拉角变换的一部分，仅仅说明三个轴的角度是不完整的；在用欧拉角说明某一个物体的姿态时，一定要加上先后顺序
3. 无论是欧拉角还是四元数，它们都只描述旋转，不包含任何拉伸平移

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从低维开始

参考3B1B的四元数视频
在复频域分析中，我们常见的 $j$ 或者 $i$ 其实就是一种旋转表示
如 $e^{\pi i}$ 表示绕某一个轴旋转180°
即：（欧拉公式，可从三角函数推得）$$e^{i\theta }=sin\theta +icos\theta$$
令：$w=sin\theta$, $x=cos\theta$
进而：$$e^{i\theta }=w+xi$$
也就是说，我们用两个量描述了一个在二维平面中的旋转，但是这两个量满足某种约束关系（本质上是一个量分解出的两个量，用一维的量描述了二维的旋转）
举例来说，$0+1i$表示逆时针旋转90°，$\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i$表示顺时针旋转45°

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进入高维

就像常规复数描述二维旋转时，一个二维单位圆覆盖了整个一维空间，一个三维单位球覆盖了整个二维空间，同样的，一个四维的单位超球也会覆盖整个三维空间；
相应的，我们用一维量描述二维旋转，用二维量描述三维旋转，那么我们用三维量描述四维旋转就合乎情理了
事实上，四元数描述的是四维中单位超球的旋转，三维坐标系的原点是$1+0i+0j+0k$，这是由超球的投影决定的，球上的该点投影下来，正好落在原点处
对于四元数来说：
$$q=w+xi+yj+zk$$
$w\in [0,1],x,y,z\in [-1,1]$的部分_{（正实部的部分）}被映射到了三维坐标系中的单位球中，其他部分_{（负实部的部分）}映射到了三维单位球以外的空间

但请时刻记住：无论这个四元数的点映射到三维空间的哪里，它原本所在的位置都是那个四维单位超球，满足 $w^2+x^2+y^2+z^2=1$
此外，等价于普通复数的虚轴表示二维中的一个圆，在四元数中，$i,j,k$ 每个轴都代表超球上的一个圆环，进一步的，三维中的每一个平面，都代表了超球上的一个球面

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四元数运算

运算的本质

让我们回忆一下文章开头所讲的：
四元数不仅是变换，也是一种状态

因此，四元数乘法可以类比于矩阵向量运算
当两个四元数相乘时，可以认为是一个四元数状态应用了另一个四元数变换，从而得到下一个四元数状态，
换而言之，变换将状态量的四个基分别应用了该变换，再重新组成了新的状态量

对应的几何含义

四元数变换所描述的旋转方向符合右手螺旋定则
举例来说：右手拇指从1指向 i ，当应用 i 变换时，jk圆会绕着手指蜷曲的方向旋转；
推广：右手拇指从1指向变换四元数，当应用该变换时，垂直于该四元数向量的圆会绕着手指蜷曲的方向旋转

每应用一次单位四元数变换，相当于绕某一个轴旋转90度，连续应用4次就转回来了
由此，我们可以简单得出一个性质：四元数运算不满足乘法交换律