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目录

一、可分离变量的微分方程

1. 一般形式​

2. 求通解步骤

3. 例题 

例1​

二、齐次方程

1. 一般形式​

2. 求通解步骤

3. 例题

例1​

三、一阶线性微分方程

1. 一般形式​

2. 求解步骤

(1) 一阶齐次线性微分方程通解​

(2) 一阶非齐次线性微分方程通解​

3. 例题

例1​

四、可降阶的高阶微分方程

1. 一般形式

类型一​

类型二​

类型三​

2. 求解方法

3. 例题

例1​

例2​

例3​

五、高阶线性微分方程

1. 一般形式

【方程（6-5）】

【方程（6-6）】​

2. 定理(P331)

定理1​

线性无关​

定理2​

推论​

定理3(非齐通=齐通+非齐特)​

定理4​

3. 例题

例1​

六、常系数齐次线性微分方程

1. 一般形式

二阶常系数齐次线性方程​

n阶常系数齐次线性方程

2. 求解步骤

二阶常系数齐次线性方程​

n阶常系数齐次线性方程​

3. 例题

例1

例2​

七、常系数非齐次线性微分方程

1. 一般形式​

2. 求解步骤

3. 例题

例1​

附加知识点

1. 解的性质

2. 通解结构

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注：一到四讨论的都是一阶微分方程

一、可分离变量的微分方程

1. 一般形式

2. 求通解步骤

①分离变量
        移项，变形为等式一边只含 y 和 dy 另一边只含 x 和 dx.
②两端积分
        对移项后的等式两端积分.
③写出通解
        根据具体情况进行化简.

3. 例题 

例1

二、齐次方程

1. 一般形式

2. 求通解步骤

①移项凑形
        移项，等式左边为 dy/dx，等式右边的变量全为 y/x.
②换元法
        令 u=y/x，并且：

③代入方程
④分离变量
⑤两端积分
⑥回代 y/x=u

3. 例题

例1

三、一阶线性微分方程

1. 一般形式

2. 求解步骤

(1) 一阶齐次线性微分方程通解

(2) 一阶非齐次线性微分方程通解

3. 例题

例1

四、可降阶的高阶微分方程

1. 一般形式

类型一

类型二

类型三

2. 求解方法

3. 例题

例1

例2

例3

五、高阶线性微分方程

1. 一般形式

【方程（6-5）】

【方程（6-6）】

2. 定理(P331)

定理1

线性无关

定理2

推论

定理3(非齐通=齐通+非齐特)

定理4

3. 例题

例1

六、常系数齐次线性微分方程

1. 一般形式

二阶常系数齐次线性方程

n阶常系数齐次线性方程

2. 求解步骤

二阶常系数齐次线性方程

n阶常系数齐次线性方程

3. 例题

例1

例2

七、常系数非齐次线性微分方程

1. 一般形式

2. 求解步骤

3. 例题

例1

附加知识点

1. 解的性质

齐次方程的解的差​​：仍然是齐次方程的解.

齐次方程的解的和：仍然是齐次方程的解.
​​非齐次方程的解的差​​：是对应齐次方程的解（前提是两个解都是纯粹的特解）.

注：​​非齐次方程的解的和​​：是对应齐次方程的解（前提是两个解都是纯粹的特解）.❌错误的

2. 通解结构

齐次方程的通解 = "一个或多个常数×一个或多个特解"的组合.
非齐次方程的通解 = 齐次通解 + 一个特解.

1. 解的性质 与 2. 通解结构 有什么用？来看下面三道题：