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1.概率论基础

1.1 单事件概率

定义：一个事件发生的可能性。
例子：假设事件A表示“一个文本是正向的”，则P(A) = 正向文本数 / 总文本数。
解释：比如有20个文本，其中13个是正向的，那么P(A) = 13/20 = 0.65。

1.2 多事件概率

定义：多个事件同时发生的概率。
例子：事件A（文本是正向的）和事件B（文本包含单词“happy”）同时发生的概率P(A,B) = P(A∩B) = 3/20。

举个例子：假设某餐厅统计发现：

• 30%的订单点了汉堡（事件A）
• 20%的订单同时点了汉堡和薯条（事件A∩B）

那么：

• 多事件概率：P(汉堡且薯条) = 20%
  （直接表示同时点这两样的概率）

1.3 条件概率

定义：在已知事件B发生的情况下，事件A发生的概率，记作P(A|B)。
公式：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)。
作用：缩小计算范围。例如，已知文本包含“happy”，计算它是正向的概率时，只需关注包含“happy”的文本。

延续刚刚的例子：已知某餐厅统计发现：

• 薯条订单占全店40%（事件B）
• 汉堡和薯条同时点占20%（事件A∩B）

则：

• 条件概率：P(汉堡|已点薯条) = 20%/40% = 50% 【两者同时的概率 / 单单薯条的概率】
  （在已经点薯条的订单中，有50%会加购汉堡）

1.3.1 多事件概率与条件概率的区别

维度	多事件概率	条件概率
计算范围	全局样本空间	限定在条件事件发生的子空间
信息量	反映单纯共存概率	揭示事件间的关联强度
应用场景	分析事件组合频率	研究因果关系/预测

典型误区分辨

• ❌错误理解：“今天下雨且堵车”（多事件概率） vs “下雨导致堵车”（条件概率）
• ✅正确区分：
  • 多事件概率：全市范围内同时下雨和堵车的概率（比如10%）
  • 条件概率：在下雨的日子里发生堵车的概率（可能高达70%）

NLP应用实例（情感分析）

假设分析1,000条商品评论：

• 200条出现"价格"（事件A）
• 50条同时出现"价格"和"昂贵"（事件A∩B）
• "昂贵"出现总次数100次（事件B）

多事件概率：
P(“价格"且"昂贵”) = 50/1000 = 5%
（所有评论中同时包含这两个词的概率）

条件概率：
P(“昂贵”|出现"价格") = 50/200 = 25%
（在提到价格的评论中，"昂贵"出现的概率）【两者同时的概率 / 单单价格的概率】

1.4 贝叶斯定理

定义：通过已知事件Y反推事件X的概率。贝叶斯定理是"用结果反推原因"的概率计算方法。就像侦探破案：已知犯罪现场有某种证据（结果），计算某个嫌疑人作案（原因）的概率。
公式：P(X|Y) = P(Y|X) * P(X) / P(Y)。
用途：在分类问题中，通过观测数据反推类别概率。

举个例子（疾病检测）
假设：

• 某疾病在人群中的患病率是1%（先验概率）
• 检测准确率：
  • 真有病的人，99%能测出阳性（真阳性率）
  • 没病的人，2%会误测为阳性（假阳性率）

问题：如果一个人检测呈阳性，他实际患病的概率是多少？

传统思维误区

很多人会直接认为概率是99%，忽略了基础患病率。

贝叶斯定理计算

P(患病|阳性) = P(阳性|患病) * P(患病) / P(阳性) P(阳性) = [P(阳性|患病) * P(患病) + P(阳性|正常) * P(正常)
= (99% * 1%) / (99% * 1% + 2% * 99%) 这里的P(正常)更多的是：1-P(患病) = 99%
≈ 33%

【“患病”是因，“阳性”是果 ，先乘因，再除果】

即使检测呈阳性，实际患病概率只有33%！

接下来我将对公式进行拆解：

P(原因|结果) = [P(结果|原因) × P(原因)] / P(结果)

• P(原因)：先验概率（已知的客观事实）
• P(结果|原因)：似然度（原因导致结果的可能性）
• P(原因|结果)：后验概率（我们想求的答案）

NLP应用实例（垃圾邮件过滤）

已知：

• 邮件中出现**“折扣”**这个词：
  • 在垃圾邮件中出现的概率是80%（P(折扣|垃圾)）
  • 在正常邮件中出现的概率是10%（P(折扣|正常)）
• 整体邮件中垃圾邮件占比20%（P(垃圾)）

计算：

P(垃圾|折扣) = [P(折扣|垃圾) * P(垃圾)] / [P(折扣|垃圾) * P(垃圾) + P(折扣|正常) * P(正常)]
= (80% * 20%) / (80% * 20% + 10% * 80%) 这里的P(正常)更多的是：1-P(垃圾) = 80%
= 66.7%

虽然"折扣"在垃圾邮件中出现概率高，但综合考量后，含这个词的邮件是垃圾邮件的概率是66.7%。

那么为什么叫"定理"？

因为可以通过条件概率公式严格推导：

1. 根据条件概率定义：P(A|B)=P(A∩B)/P(B)
2. 同理：P(B|A)=P(A∩B)/P(A)
3. 联立两式消去P(A∩B)即得贝叶斯定理

2. 朴素贝叶斯法

2.1 基本概念

概述：基于贝叶斯定理的分类方法，假设特征之间相互独立（称为“朴素”）。
优点：简单高效，适合文本分类等任务。
缺点：特征独立性假设可能影响准确性。

条件独立假设：

• 假设所有特征在类别确定时彼此独立。
• 虽然简化计算，但现实中特征可能相关。

2.2 模型

目标：对输入数据x，预测最可能的类别y。
核心公式：
y = argmax P(y) * Π P(x_i|y)，即选择使后验概率最大的类别。

2.3 学习策略

极大似然估计(MLE)：

• 估计先验概率P(y)和条件概率P(x_i|y)。
• 先验概率：P(y) = 类别y的样本数 / 总样本数。
• 条件概率：P(x_i|y) = 类别y中特征x_i出现的次数 / 类别y的总样本数。

2.4 优化算法

后验概率最大化：

• 选择使后验概率最大的类别，等价于最小化分类错误。

2.5 优化技巧

拉普拉斯平滑

问题：某些特征未出现时概率为0，导致整体概率为0。
解决：分子加1，分母加特征总数V，避免零概率。

对数似然

问题：连乘小数可能导致数值下溢（结果过小无法表示）。
解决：对概率取对数，将连乘转为连加。

• 概率比值：ratio(w_i) = P(w_i|正向) / P(w_i|负向)。
• 对数似然：λ(w_i) = log(ratio(w_i))。
• 最终决策：若对数先验 + Σλ(w_i) > 0，则为正向；否则为负向。

3. 情感分析实战

3.1 流程

1. 数据预处理：清洗文本（如去标点、分词）。
2. 构建词频表：统计单词在正向/负向文本中的出现次数。
3. 计算概率：
   • 条件概率：P(w_i|正向)和P(w_i|负向)。
   • 对数似然：λ(w_i) = log(P(w_i|正向)/P(w_i|负向))。
4. 预测：根据对数先验 + Σλ(w_i)的符号判断情感倾向。

3.2 模型评价

准确度：正确预测的文本数 / 总文本数。

3.3 应用场景

• 垃圾邮件分类
• 新闻分类
• 情感分析

3.4 局限性

1. 条件独立假设：忽略单词间的关联（如“not happy”）。
2. 数据不平衡：正向/负向样本数量差异大时影响效果。
3. 文本复杂性：
   • 标点可能携带情感（如“好！” vs “好？”）。
   • 停用词（如“的”）有时也有情感意义。
   • 反讽或夸张难以捕捉。

• 新闻分类
• 情感分析

3.4 局限性

1. 条件独立假设：忽略单词间的关联（如“not happy”）。
2. 数据不平衡：正向/负向样本数量差异大时影响效果。
3. 文本复杂性：
   • 标点可能携带情感（如“好！” vs “好？”）。
   • 停用词（如“的”）有时也有情感意义。
   • 反讽或夸张难以捕捉。