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变分推断简介

在机器学习领域，贝叶斯推断是一种强大的框架，它允许我们结合先验知识和观测数据来估计模型参数的后验分布。然而，在实际应用中，后验分布的计算往往是难以处理的，这限制了贝叶斯方法的广泛应用。为了解决这个问题，变分推断（Variational Inference，VI）应运而生，它提供了一种近似贝叶斯推断的有效途径。

什么是变分推断？

变分推断是一种用于近似计算复杂后验分布的技术。它的核心思想是将后验推断问题转化为一个优化问题，通过寻找一个与真实后验分布尽可能接近的简单分布来近似它。

具体来说，变分推断的目标是找到一个属于特定分布族 Q 的分布 q(θ)，使得 q(θ) 与真实的后验分布 p(θ|x) 之间的 Kullback-Leibler (KL) 散度 最小化。KL 散度是一种衡量两个概率分布差异的指标，KL散度越小，表示两个分布越接近。

用公式表达如下：

$$F(q):=KL(q(\theta )\parallel p(\theta |x))\to \underset{q(\theta )\in Q}{\min }$$

为什么需要变分推断？

完全贝叶斯推断在训练阶段需要计算后验分布，在测试阶段需要对后验分布进行积分。但是，只有在简单的共轭模型中才能分析地计算后验分布。在大多数情况下，后验计算是难以处理的。因此，需要近似推理。

变分推断和 MCMC 都是近似推理方法。其中：

• 变分推断(Variational Inference):

  • 近似：p(θ | x) ≈ q(θ) ∈ Q
  • 有偏差
  • 速度更快、更具可扩展性

• MCMC:

  • 从非标准化 p(θ | x) 采样
  • 无偏差
  • 需要大量样本

变分推断的数学原理

为了理解变分推断的数学原理，我们需要引入 证据下界 (Evidence Lower Bound, ELBO) 的概念。ELBO 是对数证据 log p(x) 的一个下界，它与 KL 散度之间存在以下关系：

$$\log p(x)=\mathcal{L}(q(\theta ))+KL(q(\theta )\parallel p(\theta |x))$$

其中：

• log p(x) 是对数证据，表示观测数据的边缘概率，它是一个常数，不依赖于 q(θ)。
• L(q(θ)) 是 ELBO，它定义为$$\mathcal{L}(q(\theta ))=\int q(\theta )\log \left[\frac{p(x,\theta )}{q(\theta )}\right]d\theta 。$$
• KL(q(θ) || p(θ | x)) 是 q(θ) 与真实后验分布 p(θ|x) 之间的 KL 散度。

由于 KL 散度始终为非负值，因此 ELBO 是 log p(x) 的一个下界。最大化 ELBO 等价于最小化 KL 散度，从而找到一个与真实后验分布最接近的近似分布 q(θ)。

所以原始问题：

$$F(q):=KL(q(\theta )\parallel p(\theta |x))\to \underset{q(\theta )\in Q}{\min }$$

等价于：

$$L(q(\theta ))\to \underset{q(\theta )\in Q}{\max }$$

我们可以将 ELBO 写成两种等价形式：

$$\mathcal{L}(q(\theta ))={\mathbb{E}}_{q(\theta )}[\log p(x|\theta )]-KL(q(\theta )\parallel p(\theta ))(数据项目-正则化项)$$$$\mathcal{L}(q(\theta ))=\log p(x)-KL(q(\theta )\parallel p(\theta |x))$$

如何进行变分推断？

变分推断的关键在于选择合适的 变分分布族 Q。常见的变分分布族包括：

• 平均场近似 (Mean Field Approximation)：假设变分分布可以分解为各个参数的独立分布的乘积，即 q(θ) = ∏j qj(θj)。
• 参数化近似 (Parametric Approximation)：假设变分分布具有某种特定的参数形式，例如高斯分布或指数分布，即 q(θ) = q(θ | λ)，其中 λ 是变分参数。

选择变分分布族后，我们需要优化 ELBO，找到最优的变分分布 q(θ)。常用的优化方法包括：

• 坐标上升变分推断 (Coordinate Ascent Variational Inference, CAVI)：这是一种迭代优化算法，它依次更新每个参数的变分分布，直到 ELBO 收敛。
• 随机梯度变分推断 (Stochastic Gradient Variational Inference, SGVI)：这是一种基于随机梯度的优化算法，它适用于大规模数据集和复杂模型。

平均场近似

平均场近似假定变分分布可以分解为：

$$q(\theta )=\prod _{j=1}^m{q}_j({\theta }_j)$$

这意味着我们假设 θ 的各个分量是独立的。虽然这是一种很强的假设，但在实践中，它通常能够提供良好的近似效果。

在平均场近似下，我们可以使用坐标上升算法来优化 ELBO。坐标上升算法的思想是，每次固定其他分量，然后优化一个分量。重复这个过程，直到收敛。

平均场变分推断算法:

1. 初始化 $$q_j({\theta }_j)=\frac{1}{Z_j}\exp \left({\mathbb{E}}_{q_{i\ne j}}\log p(x,\theta )\right)$$
2. 迭代：

• 更新每个因子 q1,…, qm:
  $$q_j({\theta }_j)=\frac{1}{Z_j}\exp \left({\mathbb{E}}_{q_{i\ne j}}\log p(x,\theta )\right)$$

• 计算 ELBO L(q(θ))

• 重复直到 ELBO 收敛

• 其中$Z_j$是归一化常数

总结

变分推断是一种强大的近似贝叶斯推断方法，它通过优化 ELBO 来寻找与真实后验分布最接近的近似分布。变分推断具有计算效率高、可扩展性强等优点，在机器学习领域得到了广泛应用。希望这篇博客文章能够帮助你理解变分推断的基本概念和原理。

Reference

[deepbayes-2019/lectures/day1/2. Dmitry Vetrov - Variational inference.pdf at master · bayesgroup/deepbayes-2019 · GitHub