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目录

前言：

一、叉乘的数学知识

1.两个向量叉乘

2.矩阵和向量叉乘

3.向量和矩阵叉乘

二、刚体动力学下的欧拉方程

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前言：

        这两天在看”Thrust Mixing, Saturation, and Body-Rate Control for Accurate

Aggressive Quadrotor Flight“这篇论文的时候，他给出无人机的动力学模型，对于欧拉动力学方程我不是很理解，所以在网上搜索了相关资料，现在在这里记录一下。

参考链接： https://www.zhihu.com/question/327324524/answer/3405589606

一、叉乘的数学知识

1.两个向量叉乘

豆包生成的。

2.矩阵和向量叉乘

3.向量和矩阵叉乘

之后将这三行加起来，得到一个向量。

二、刚体动力学下的欧拉方程

1. 角动量公式

其中H代表角动量，I是一个3×3的惯性矩阵，w代表角速度，是一个三维列向量。

2.对角动量求导即为力矩

        对角动量求导，则可得出

        

3.上式等式右边的第二项无需再化简，第一项需进一步处理。首先考虑惯性张量：

        这个需要考虑一下，

4.对惯性张量求导，运用链式法则：

5.一般认为惯性张量的各分量不会发生变化，，对于这个ei和ej来说，它们是机体坐标系的各轴的单位向量，他们的变化率等于此时觉得角速度叉乘他们，这个公式，想一下很有道理，因为当角速度和这个单位向量很近的时候，那么这个单位向量就不转，这个容易直观的理解。负号是ej的叉乘顺序变了所有得到的。

6.接下来呢，由于叉乘的线性性质，可以将w写在外面，之后Iij写在里面。于是就有

7.你看求和符号里面，是不是就是惯性矩阵本身，于是可以写成

8.对于I这个矩阵，可以拆分成(I1, I2, I3),之后I×W就可以写成（I1×W） + （I2×W）+ （I3×W），之后会发现这个向量与W正交，所以和W的数量级为0，所以可以得到下面的式子。

9.所以说最后的式子

10.当惯性张量中非对角的惯性积为零时，可以写成