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寻找有向图中的最长环：两种解法的深度解析
在算法问题中，寻找有向图中的最长环是一个经典问题。今天，我将分享两种不同的解法：时间戳法和拓扑排序法。这两种方法各有特点，适用于不同场景。
问题描述
给定一个包含 n 个节点的有向图，节点编号为 0 到 n-1，每个节点最多有一个出边。图的结构由数组 edges 表示，其中 edges[i] 表示节点 i 指向的节点，若 edges[i] = -1 则表示无出边。要求找出图中最长的环，若无环则返回 -1。
示例1
输入：edges = [3,3,4,2,3]
输出：3
解释：最长环为 2 -> 4 -> 3 -> 2，长度为 3。
示例2
输入：edges = [2,-1,3,1]
输出：-1
解释：图中无环。
方法一：时间戳法
核心思想
时间戳法利用访问顺序的时间戳来检测环。通过记录每个节点的访问时间，当再次访问到某个节点时，若该节点在当前路径中，则说明形成了一个环。环的长度可以通过时间差计算。
实现步骤
- 初始化：使用全局标记数组
visited避免重复处理节点。 - 遍历节点：对每个未访问的节点，沿出边遍历，记录路径中的节点及其访问时间。
- 检测环：若遇到当前路径中的已访问节点，计算环长度；否则终止遍历。
- 更新结果：维护最大环长度。
代码实现
class Solution:def longestCycle(self, edges: List[int]) -> int:n = len(edges)visited = [False] * n # 全局访问标记max_cycle = -1for i in range(n):if not visited[i]:time_map = {} # 当前路径的时间戳记录current_node = itime = 0while True:if current_node == -1: # 无出边，终止breakif current_node in time_map: # 发现环cycle_length = time - time_map[current_node]max_cycle = max(max_cycle, cycle_length)breakif visited[current_node]: # 已访问过，但不在当前路径中breaktime_map[current_node] = time # 记录当前节点的时间visited[current_node] = True # 标记为已访问current_node = edges[current_node] # 移动到下一个节点time += 1return max_cycle if max_cycle != -1 else -1
复杂度分析
- 时间复杂度：O(n)，每个节点仅被访问一次。
- 空间复杂度：O(n)，存储访问标记和时间戳。
适用场景
时间戳法适用于单出边图的最长环问题，能够高效地检测环并计算其长度。
方法二：拓扑排序法
核心思想
拓扑排序法通过消除图中的非环部分，剩下的节点必然构成环。具体步骤如下：
- 计算入度：统计每个节点的入度。
- 拓扑排序：使用队列处理所有入度为0的节点，逐步消除非环节点。
- 遍历剩余节点：未被访问的节点构成环，计算每个环的长度。
实现步骤
- 计算入度：遍历每个节点，统计每个节点的入度。
- 拓扑排序：将入度为0的节点加入队列，逐步减少其他节点的入度。
- 遍历剩余节点：未被访问的节点属于环，计算每个环的长度。
代码实现
from typing import List
from collections import dequeclass Solution:def longestCycle(self, edges: List[int]) -> int:n = len(edges)indegree = [0] * n # 记录每个节点的入度# 计算每个节点的入度for u in range(n):v = edges[u]if v != -1:indegree[v] += 1visited = [False] * n # 标记是否被访问过q = deque()# 初始化队列，将入度为0的节点加入队列for u in range(n):if indegree[u] == 0:q.append(u)# 进行拓扑排序，消除非环节点while q:u = q.popleft()visited[u] = Truev = edges[u]if v != -1:indegree[v] -= 1if indegree[v] == 0:q.append(v)max_length = -1 # 记录最长环的长度# 遍历剩余未被访问的节点，计算每个环的长度for u in range(n):if not visited[u]:count = 0current = uwhile True:count += 1visited[current] = Truecurrent = edges[current]if current == u:breakif count > max_length:max_length = countreturn max_length if max_length != 0 else -1
复杂度分析
- 时间复杂度：O(n)，每个节点仅被访问一次。
- 空间复杂度：O(n)，存储入度和访问标记。
适用场景
拓扑排序法适用于单出边图的最长环问题，能够高效地分离出环部分并计算其长度。
两种方法的对比
| 方法 | 优点 | 缺点 |
|---|---|---|
| 时间戳法 | 实现简单，直接检测环 | 需要额外的时间戳记录 |
| 拓扑排序法 | 空间效率高，分离非环节点 | 需要两次遍历（拓扑排序和环检测） |
选择建议
- 时间戳法：适用于需要直接检测环的场景，代码实现较为直观。
- 拓扑排序法：适用于需要分离非环节点的场景，适合大规模图的处理。
总结
两种寻找有向图中最长环的方法：时间戳法和拓扑排序法。两种方法各有优缺点，但都能高效解决问题。时间戳法通过记录访问时间直接检测环，而拓扑排序法则通过消除非环节点来间接找到环。