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一. 真菌生长优化算法（FGO）

真菌生长优化算法（Fungal Growth Optimizer，FGO）是一种新型的自然启发式元启发式算法，其灵感来源于自然界中真菌的生长行为。该算法通过模拟真菌的菌丝尖端生长、分支和孢子萌发等行为，提供了一系列的探索和开发操作符，以解决复杂的优化问题。FGO算法在多个领域展现出了良好的性能，尤其是在解决高维问题和避免陷入局部最优方面具有显著优势。

1、算法原理

FGO算法的核心在于模拟真菌的三种主要生长行为：菌丝尖端生长、分支和孢子萌发。这些行为在算法中分别对应不同的搜索策略，以实现对解空间的有效探索和开发。

1. 菌丝尖端生长（Hyphal Tip Growth）：
   菌丝尖端生长是真菌寻找营养物质的主要方式。在FGO算法中，这一行为通过模拟菌丝在搜索空间中的线性生长来实现。菌丝会根据环境中的营养浓度调整其生长方向，以找到营养丰富的区域。这种行为在算法中提供了主要的探索能力，帮助算法在解空间中广泛搜索。

2. 分支（Branching）：
   分支行为允许真菌从现有的菌丝侧枝上生长出新的菌丝，以进一步探索周围的环境。在FGO算法中，分支行为通过在现有解的基础上生成新的解来实现，从而增强了算法的探索能力。这种机制有助于算法在解空间中发现更多的潜在最优解。

3. 孢子萌发（Spore Germination）：
   孢子萌发是真菌繁殖的重要方式。在FGO算法中，孢子萌发行为通过在搜索空间中随机生成新的解来实现。这些新的解在算法的早期阶段具有较高的随机性，随着算法的进行，它们的位置会逐渐调整到更接近当前最优解的区域。这种机制有助于算法在保持种群多样性的同时，逐步收敛到最优解。

2、算法流程

输入：种群规模 $N$，最大迭代次数 $t_{\max }$，随机数 $r_0,r_{10},r_2,r_8$，以及其他相关参数。

输出：最优解 $S^{\ast }$。

1. 初始化：

   • 使用公式 (1) 初始化 $N$ 个菌丝个体 $S_i^t$。
   • 评估每个 $S_i^t$ 的适应度值，并确定适应度值最高的个体作为当前最优解 $S^{\ast }$。
   • 设置迭代计数器 $t=1$。

2. 迭代过程：

   • 当 $t<t_{\max }$ 时，执行以下步骤：
     • 生成两个随机数 $r_0$ 和 $r_{10}$，取值范围为 [0, 1]。
     • 如果 $r_0<r_{10}$，执行菌丝尖端生长行为：
       • 对于每个菌丝个体 $i=1$ 到 $N$：
         • 根据公式 (24) 和 (23) 计算能量 $E_i$ 和概率 $p_i$。
         • 如果 $p_i<E_i$（探索阶段 I）：
           • 使用公式 (8) 更新 $S_i^{t+1}$。
         • 否则（开发阶段 I）：
           • 使用公式 (22) 更新 $S_i^{t+1}$。
         • 如果新解 $S_i^{t+1}$ 的适应度值小于当前解 $S_i^t$ 的适应度值：
           • 更新当前解 $S_i^t=S_i^{t+1}$。
       • 迭代计数器加 1，$t=t+1$。
     • 否则，执行菌丝分支和孢子萌发行为：
       • 对于每个菌丝个体 $i=1$ 到 $N$：
         • 生成两个随机数 $r_2$ 和 $r_8$，取值范围为 [0, 1]。
         • 如果 $r_2<0.5$（菌丝分支）：
           • 使用公式 (30) 更新 $S_i^{t+1}$。
         • 否则（孢子萌发）：
           • 使用公式 (31) 更新 $S_i^{t+1}$。
         • 如果新解 $S_i^{t+1}$ 的适应度值小于当前解 $S_i^t$ 的适应度值：
           • 更新当前解 $S_i^t=S_i^{t+1}$。
       • 迭代计数器加 1，$t=t+1$。

3. 结束条件：

   • 当迭代次数 $t$ 达到最大迭代次数 $t_{\max }$ 时，算法结束。
   • 输出最优解 $S^{\ast }$。

3、 详细步骤说明

1. 初始化：

   • 随机生成 $N$ 个初始菌丝个体，每个个体代表一个潜在的解。
   • 评估每个个体的适应度值，找到当前最优解 $S^{\ast }$。

2. 菌丝尖端生长行为：

   • 通过比较随机数 $r_0$ 和 $r_{10}$，决定是否执行菌丝尖端生长行为。
   • 对于每个菌丝个体，计算其能量 $E_i$ 和概率 $p_i$。
   • 根据 $p_i$ 和 $E_i$ 的关系，决定是进行探索阶段 I 还是开发阶段 I。
   • 使用相应的公式更新菌丝个体的位置。
   • 如果新位置的适应度值更好，则接受新位置。

3. 菌丝分支和孢子萌发行为：

   • 如果不执行菌丝尖端生长行为，则执行菌丝分支和孢子萌发行为。
   • 对于每个菌丝个体，生成随机数 $r_2$ 和 $r_8$。
   • 根据 $r_2$ 的值，决定是进行菌丝分支还是孢子萌发。
   • 使用相应的公式更新菌丝个体的位置。
   • 如果新位置的适应度值更好，则接受新位置。

4. 迭代更新：

   • 每次更新后，检查是否满足终止条件（达到最大迭代次数）。
   • 如果满足条件，则输出最优解；否则，继续下一次迭代。
     参考文献：
     [1]Abdel-Basset M, Mohamed R, Abouhawwash M. Fungal growth optimizer: A novel nature-inspired metaheuristic algorithm for stochastic optimization[J]. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 2025, 437: 117825.

二、核心MATLAB代码

% The Fungal Growth Optimizer
function [Gb_Fit,Gb_Sol,Conv_curve]=FGO(N,Tmax,ub,lb,dim,Fun_No,fhd)
%%%%-------------------Definitions--------------------------%%
%%
Gb_Sol=zeros(1,dim); % A vector to include the best-so-far solution
Gb_Fit=inf; % A Scalar variable to include the best-so-far score
Conv_curve=zeros(1,Tmax);
%%-------------------Controlling parameters--------------------------%%
%%
M=0.6; %% Determines the tradeoff percent between exploration and exploitation operators.
Ep=0.7; %% Determines the probability of environmental effect on hyphal growth
R=0.9; %% Determines the speed of convergence to the best-so-far solution
%%---------------Initialization----------------------%%
%%
S=initialization(N,dim,ub,lb); % Initialize the S of crested porcupines
t=0; %% Function evaluation counter
%%---------------------Evaluation-----------------------%%
for i=1:N%% Test suites of CEC-2014, CEC-2017, CEC-2020, and CEC-2022fit(i)=feval(fhd, S(i,:)',Fun_No);
end
% Update the best-so-far solution
[Gb_Fit,index]=min(fit);
Gb_Sol=S(index,:);
%% A new vector to store the best-so-far position for each hyphae
Sp=S;
opt=Fun_No*100; %% Best-known fitness
%%  Optimization Process of FGO
while t<Tmax && opt~=Gb_Fit%% ----------------------------------------------------------------------------- %%if t <= Tmax/2 %% Compute the the nutrient allocation according to (12)nutrients = rand(N); % Allocate more randomly to encourage fluctuation exploitationelsenutrients = fit;  % Exploitation phase: allocate based on fitnessendnutrients = nutrients / sum(nutrients)+2*rand; % Normalize nutrient allocation according to (13)%% ----------------------------------------------------------------------------- %%if rand<rand %% Hyphal tip growth behavior %%for i=1:Na=randi(N);b=randi(N);c=randi(N);while a==i | a==b | c==b | c==a ||c==i |b==ia=randi(N);b=randi(N);c=randi(N);endp=(fit(i)-min(fit))/(max(fit)-min(fit)+eps); %%% Compute p_i according to (23)Er=M+(1-t/(Tmax)).*(1-M); %%% Compute Er according to (24)if p<ErF=(fit(i)/(sum(fit))).*rand*(1-t/(Tmax))^(1-t/(Tmax)); %% Calculate F according to (5) and (6)E=exp(F);  %% Calculate E according to (4)r1=rand(1,dim);r2=rand;U1=r1<r2; %% Binary vectorS(i,:) = (U1).*S(i,:)+(1-U1).*(S(i,:)+E.*(S(a,:)-S(b,:))); %% Generate the new hyphal growth according to (9)elseEc = (rand(1, dim) - 0.5) .* rand.*(S(a,:)-S(b,:)); % Compute the additional exploratory step using (17)if rand<rand %% Hypha growing in the opposite direction of nutrient-rich areas %De2 = rand(1,dim).* (S(i,:) - Gb_Sol).*(rand(1,dim)>rand); %% Compute De2 according to (16) %%S(i,:) = S(i,:) + De2 .* nutrients(i)+Ec*(rand>rand); %% Compute the new growth for the ith hyphal using (15)else %% Growth direction toward nutrient-rich areaDe = rand.* (S(a, :) - S(i, :)) + rand(1,dim).* ((rand>rand*2-1).*Gb_Sol - S(i, :)).*(rand()>R); %% Compute De according to (11) %%S(i,:) = S(i,:) + De .* nutrients(i)+Ec*(rand>Ep); %% Compute the new growth for the ith hyphal using (14)endend%% Return the search agents that exceed the search space's boundsfor j=1:size(S,2)if  S(i,j)>ub(j)S(i,j)=lb(j)+rand*(ub(j)-lb(j));elseif  S(i,j)<lb(j)S(i,j)=lb(j)+rand*(ub(j)-lb(j));endend% Calculate the fitness value of the newly generated solutionnF=feval(fhd, S(i,:)',Fun_No);%% update Global & Local best solutionif  fit(i)<nFS(i,:)=Sp(i,:);    % Update local best solutionelseSp(i,:)=S(i,:);fit(i)=nF;%% update Global best solutionif  fit(i)<=Gb_FitGb_Sol=S(i,:);    % Update global best solutionGb_Fit=fit(i);endendt=t+1; % Move to the next generationif t>TmaxbreakendConv_curve(t)=Gb_Fit;endif  t>Tmaxbreak;endelser5=rand;for i=1:Nrr=rand(1,dim);a=randi(N);b=randi(N);c=randi(N);while a==i | a==b | c==b | c==a ||c==i |b==ia=randi(N);b=randi(N);c=randi(N);endif rand<0.5 %% Hyphal branchingEL=1+exp(fit(i)/(sum(fit)))*(rand>rand); %% Compute the growth rate of the hypha produced via lateral branching using (29)Dep1=(S(b,:)-S(c,:)); %% Compute Dep1 using (26)Dep2=(S(a,:)-Gb_Sol); %% Compute Dep1 using (27)r1=rand(1,dim);r2=rand;U1=r1<r2; %% Binary vectorS(i,:)= S(i,:).*U1+(S(i,:)+ r5.*Dep1.*EL+ (1-r5).*Dep2.*EL).*(1-U1); % Generate the new branch for the ith hyphal using (30)else %% Spore germinationsig=(rand>rand*2-1); %% 1 or -1F=(fit(i)/(sum(fit))).*rand*(1-t/(Tmax))^(1-t/(Tmax)); %% Calculate F according to (5) and (6)E=exp(F);  %% Calculate E according to (4)for j=1:size(S,2)mu=sig.*rand.*E;if rand>randS(i,j)=(((t/(Tmax))*Gb_Sol(j)+(1-t/(Tmax))*S(a,j))+S(b,j))/2.0 + mu * abs((S(c,j)+S(a,j)+S(b,j))/3.0-S(i,j));      % Eq. (31)endendend%% Return the search agents that exceed the search space's boundsfor j=1:size(S,2)if  S(i,j)>ub(j)S(i,j)=lb(j)+rand*(ub(j)-lb(j));elseif  S(i,j)<lb(j)S(i,j)=lb(j)+rand*(ub(j)-lb(j));endend% Calculate the fitness value of the newly generated solutionnF=feval(fhd, S(i,:)',Fun_No);%% update Global & Local best solutionif  fit(i)<nFS(i,:)=Sp(i,:);    % Update local best solutionelseSp(i,:)=S(i,:);fit(i)=nF;%% update Global best solutionif  fit(i)<=Gb_FitGb_Sol=S(i,:);    % Update global best solutionGb_Fit=fit(i);endendt=t+1; % Move to the next generationif t>TmaxbreakendConv_curve(t)=Gb_Fit;end %% End for iend %% End Ifif  t>Tmaxbreak;end
end%% End while
end
%_________________________________________________________________________%
%  Fungal Growth Optimizer source code demo 1.0               %
%  Developed in MATLAB R2019A                                      %
%                                                                         %
%                                                                         %
%   Main paper: Fungal Growth Optimizer: A Novel Nature-inspired Metaheuristic Algorithm for Stochastic Optimization                       %
%                  %
%                                                                         %
%_________________________________________________________________________%
% This function initialize the first population of search agents
function Positions=initialization(SearchAgents_no,dim,ub,lb)
Boundary_no= length(ub); % numnber of boundaries
% If the boundaries of all variables are equal and user enter a signle
% number for both ub and lb
if Boundary_no==1Positions=rand(SearchAgents_no,dim).*(ub-lb)+lb;
end
% If each variable has a different lb and ub
if Boundary_no>1for i=1:dimub_i=ub(i);lb_i=lb(i);Positions(:,i)=rand(SearchAgents_no,1).*(ub_i-lb_i)+lb_i;      end
end