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欧拉公式（Euler’s Formula）：

$$e^{ia}=\cos (a)+i\sin (a)$$

它是复数指数函数与三角函数之间的桥梁，是傅里叶分析和信号处理的基础之一。我们现在来从泰勒展开的角度严格推导它，并讲解每一步的数学意义。

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一、背景知识准备

我们将使用泰勒级数展开来推导以下三个函数：

• 指数函数 $e^x$
• 余弦函数 $\cos (x)$
• 正弦函数 $\sin (x)$

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1. 指数函数的泰勒展开：

$$e^x=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{x^n}{n!}$$

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2. 正弦函数的泰勒展开：

$$\sin (x)=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^n}{(2n+1)!}{x}^{2n+1}$$

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3. 余弦函数的泰勒展开：

$$\cos (x)=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^n}{(2n)!}{x}^{2n}$$

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二、将 $x$ 替换成 $ia$，构造 $e^{ia}$

我们对 $e^x$ 中的 $x$ 替换为 $ia$，即：

$$e^{ia}=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(ia{)}^n}{n!}$$

我们将 $(ia{)}^n$ 展开，使用虚数单位的幂：

$n$	$(i{)}^n$
0	$1$
1	$i$
2	$-1$
3	$-i$
4	$1$
…	循环出现

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三、将指数级数分离为实部与虚部

$$e^{ia}=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(ia{)}^n}{n!}=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{i^n{a}^n}{n!}$$

我们将奇数项与偶数项分开：

1. 偶数项（$n=2k$）：

$$\sum _{k=0}^{\infty }\frac{(i{)}^{2k}{a}^{2k}}{(2k)!}=\sum _{k=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^k{a}^{2k}}{(2k)!}=\cos (a)$$

2. 奇数项（$n=2k+1$）：

$$\sum _{k=0}^{\infty }\frac{(i{)}^{2k+1}{a}^{2k+1}}{(2k+1)!}=i\sum _{k=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^k{a}^{2k+1}}{(2k+1)!}=i\sin (a)$$

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四、组合得到欧拉公式

所以我们有：

$$e^{ia}=\cos (a)+i\sin (a)$$

这就是我们想要的结论。

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五、物理/直观解释（极坐标视角）

复平面上的复数可以写成：

$$z=r{e}^{i\theta }$$

表示一个模为 $r$，角度为 $\theta$ 的复数点。

由欧拉公式：

$$e^{i\theta }=\cos (\theta )+i\sin (\theta )$$

也就是说，单位圆上的角度 $\theta$ 对应的复数，正好是复平面上的一个旋转角度为 $\theta$ 的点。

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六、傅里叶分析中的作用

欧拉公式是傅里叶变换的基础：

• 正弦和余弦可以统一为指数形式：
  $$\cos (a)=\frac{e^{ia}+e^{-ia}}{2},\sin (a)=\frac{e^{ia}-e^{-ia}}{2i}$$
• 傅里叶变换中的复指数项 $e^{-i2\pi ft}$ 就是通过这个公式来的，代表“频率为 $f$”的旋转基底。
• 实现频谱分析时，信号投影到正交的复指数基上，本质上就是利用了欧拉公式构造的复数基底。