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数值计算是机器学习领域的三驾马车之一，另外两个是线性代数和概率论，这三门数学基础性学科既是入门数据挖掘行业的门槛也是机器学习从业人员技术能力提升的阶梯。之前的文章已经介绍了线性代数和概率论相关的内容，今天本数据分析狮就分享一下机器学习中用到的数值计算。再次声明，小狮分享的这三篇只是基础性的理论知识，期望对大家入门机器学习有帮助。

一、为什么机器学习要用数值计算

机器学习为什么要用到数值计算，众所周知机器学习的过程跟把大象放进冰箱一样都是简单的三步:

step1：定义一个模型范围【Model Set】

step2：定义评估模型好坏的标准【Loss Function】

step3：根据标准选出最好的model【Best Model】

其中，第三步要从模型的汪洋Set中选出最好的那个，这就需要大量的数值计算，通常是指通过迭代过程更新解的估计值来解决数学问题的算法，而不是通过解析过程推导出公式来提供正确解的方法。常见的操作包括优化（找到最小化或最大化函数值的参数）和线性方程组的求解。那这就存在一个问题，为什么不能通过解析过程推导出公式来提供解，比如线性回归的解析解就可以用导数等于0可推导出

我个人总结之所以需要用数值解而不是解析解的原因有两个：一是无法满足大数据量矩阵乘法，比如线性回归的解析解当数据量达到几亿十几亿的时候显然一般的计算机都很难进行运算；二是很多模型没有解析解比如深度学习、逻辑回归都不存在解析解。因此需要数值解来逼近最优解。

【一个小类比】机器学习的这三个流程可以类比成女孩找对象。

step1：定义一个你要找的范围（比如男的、活的）。

step2：定义一个衡量好对象的标准（比如：身高2米以上，北京二环内有房，跑车等等）

step3：根据标准选出最好的对象（比如：搜索策略，从微信第一个男生开始挨个搜索，直到找到Mr Right）

二、基于梯度的优化算法

目标函数：在机器学习中需要最小（大）化的函数，也就是评估模型好坏的标准，比如：均方误差（MSE）、交叉熵损失函数等，有时也被称为代价函数、损失函数或误差函数

我们的目标是寻找f(x)取到最小值的参数值，这就需要我们定义一个搜索策略来改变参数值从而减小目标函数或者叫误差函数。其中最常用最直观的一种就是沿着导数（梯度）方向来搜索。

导数的意义：通过改变x的值来改变y值f(x + ϵ) ≈ f(x) + ϵf′(x)

梯度下降：通过导数的反方向移动自变量改变因变量值。直到因变量不再减少即为最优解，梯度是f（x）对xi【多个自变量】偏导数组成的向量f(x - ϵsign(f′(x))) <f(x)

最速梯度下降法：f（x）沿梯度的方向是函数值下降速度最快的方向x′ = x - ϵ∇xf(x) 其中ϵ是学习率

【f′(x) = 0 导数为0的情况】

导数为0时，无法提供更改x的方向，这些点就是临界点或驻点，驻点可以是局部极大点、局部极小点、鞍点，当然机器学习当然是想要得到全局最小点【最大点】

驻点是机器学习中最怕陷入的点，在驻点上导数为零，机器学习就会停止更新参数，误将驻点认为是全局最小点。所以，在深度学习中会加入动量的概念，来优化Optimizer比如 Adadelta，Adagrad，RMSProp 等方法都可以避免参数更新时陷入驻点

最速下降在梯度的每一个元素为零时收敛（或在实践中，很接近零时）。在某些情况下，我们也许能够避免运行该迭代算法，并通过解方程 ∇xf(x) = 0 直接跳到临界点。

虽然梯度下降被限制在连续空间中的优化问题，但不断向更好的情况移动一小步（即近似最佳的小移动）的一般概念可以推广到离散空间。递增带有离散参数的目标函数被称为 爬山（ hill climbing）算法

三、其他优化算法

Jacobian、Hessian 矩阵

Jacobian 矩阵：当函数的输出是多维时，函数的一阶导数就不再是一个向量（梯度）而是一个矩阵这就是Jacobian 矩阵。

一阶求导总结：一个自变量一个因变量的求导得到一个数就是导数，多个自变量一个因变量求导后得到的向量是梯度，多个自变量多个因变量求导后得到就是Jacobian 矩阵。

Hessian 矩阵：当函数具有多维输入时， 二阶导数也有很多。我们可以将这些导数合并

成一个矩阵，称为 Hessian 矩阵

Hessian 矩阵性质：

Hessian 矩阵是对函数曲率的衡量，表示一阶导数将如何随着输入的变化而改变，只基于梯度信息的梯度下降步骤是否会产生如我们预期的那样大的改善。以二次函数为例进行说明，如果这样的函数具有零二阶导数，那就没有曲率。也就是一条完全平坦的线，仅用梯度就可以预测它的值。我们使用沿负梯度方向大小为 ϵ 的下降步，当该梯度是 1 时， 代价函数将下降 ϵ。如果二阶导数是负的，函数曲线下一个错别字向下凹陷 (向上凸出)，因此代价函数将下降的比 ϵ 多。如果二阶导数是正的，函数曲线是向上凹陷 (向下凸出)，因此代价函数将下降的比 ϵ 少。

Hessian 矩阵与Jacobian矩阵的关系：Hessian 矩阵是梯度的Jacobian矩阵

Hessian 矩阵的用途：

1、用于验证临界点是局部极大点、局部极小点还是鞍点

当 f′(x) = 0 且 f′′(x) > 0 时， x 是一个局部极小点

当 f′(x) = 0 且 f′′(x) < 0 时， x 是一个局部极大点

当 f′(x) = 0 且 f′′(x) =0 时， x 是一个鞍点

在多维情况下，我们需要检测函数的所有二阶导数。利用 Hessian 的特征值分解，我们可以将二阶导数测试扩展到多维情况。在临界点处（ ∇xf(x) = 0），我们通过检测 Hessian 的特征值来判断该临界点是一个局部极大点、 局部极小点还是鞍点

2、指导函数搜索

（1）确定最优步长

f(x)近似二阶泰勒级数：

g是梯度 H是Hessian 矩阵

可得最优步长为：

（2）指导搜索方向

梯度下降无法利用包含在 Hessian 矩阵中的曲率信息，可以使用 Hessian 矩阵的信息来指导搜索，以解决这个问题。其中最简单的方法是 牛顿法（ Newton’s method）。牛顿法基于一个二阶泰勒展开来近似 x(0) 附 近的 f(x)：

可通过计算得到临界点为：

当 f 是一个正定二次函数时， 牛顿法只要应用一次上式就能直接跳到函数的最小点。如果 f 不是一个真正二次但能在局部近似为正定二次， 牛顿法则需要多次迭代应用上式 。迭代地更新近似函数和跳到近似函数的最小点可以比梯度下降更快地到达临界点。

总结一下，数值计算主要用于机器学习的第三步，从模型集合中寻找性能最好的那个模型，具体寻找的策略有：基于梯度的搜索策略【最速梯度下降法】及其变体【Adam Adadelta，Adagrad，RMSProp】以及基于二次求导的牛顿法