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一、01分数规划

1.1 01分数规划

01分数规划用来求一个分式的极值。模型如下：

给出 $a_i$ 和 $b_i$，求一组 w i ∈ { 0 , 1 } w_i \in \{ 0, 1 \} wi​∈{0,1}最小化或最大化
$$\frac{{\sum }_{i=1}^n{a}_i\times w_i}{{\sum }_{i=1}^n{b}_i\times w_i}$$

1.2 二分法

分数规划问题的通用方法是二分。

假设我们要求最大值。二分一个最大值M，那么有：
$$\begin{array}{rl}& \frac{{\sum }_{}^{}{a}_i\times w_i}{{\sum }_{i=1}^n{b}_i\times w_i}>M\\ & \sum a_i\times w_i-M\times \sum _{i=1}^n{b}_i\times w_i\\ & \sum w_i\times (a_i-M{b}_i)\end{array}$$
那么只要求出不等号左边的式子的最大值就行了。如果最大值比 0 要大，说明 mid 是可行的，否则不可行。

有时候01分数规划也会和网络流结合。详见最小割问题合集，最大权闭合图，最大密度子图，最小权点覆盖，最大权独立子图，OJ练习，代码详解-CSDN博客

1.3 题目练习

1.3.1 P10505 Dropping Test

原题链接

P10505 Dropping Test

思路分析

模板题，分式的最大值，最后 * 100 输出即可。

AC代码

#include <bits/stdc++.h>using i64 = long long;
using u64 = unsigned long long;
using u32 = unsigned;
using u128 = unsigned __int128;constexpr double eps = 1E-6;int main() {std::ios::sync_with_stdio(false);std::cin.tie(nullptr);int n, k;while (std::cin >> n >> k, n) {std::vector<int> a(n), b(n);for (int i = 0; i < n; ++ i) {std::cin >> a[i];}     for (int i = 0; i < n; ++ i) {std::cin >> b[i];}auto check = [&](double m) -> bool{std::vector<double> st;for (int i = 0; i < n; ++ i) {st.push_back(a[i] - b[i] * m);}std::ranges::sort(st);double s = 0;for (int i = k; i < n; ++ i) {s += st[i];}return s >= 0;};double lo = 0, hi = 1;while (lo + eps < hi) {double x = (lo + hi) / 2;            if (check(x)) {lo = x;} else {hi = x;}}std::cout << std::round(lo * 100) << '\n';}return 0;
}

1.3.2 P4377 [USACO18OPEN] Talent Show G

原题链接

P4377 [USACO18OPEN] Talent Show G

思路分析

sum(t) / sum(w) >= m，m 为二分最大值

那么 sum(t - w * m) >= 0，我们如何得到sum(w) >= W下最大的sum(t - w * m)？——01背包

AC代码

#include <bits/stdc++.h>using i64 = long long;
using u64 = unsigned long long;
using u32 = unsigned;
using u128 = unsigned __int128;constexpr double eps = 1E-4;int main() {std::ios::sync_with_stdio(false);std::cin.tie(nullptr);int n, W;std::cin >> n >> W;std::vector<int> w(n), t(n);for (int i = 0; i < n; ++ i){std::cin >> w[i] >> t[i];}/*sum(t) / sum(w) >= Msum t - wM >= 0*/auto check = [&](double m) -> bool{std::vector<double> f(W + 1, std::numeric_limits<double>::lowest() / 2);f[0] = 0;for (int i = 0; i < n; ++ i) {for (int j = W; j >= 0; -- j) {int nj = std::min(W, j + w[i]);f[nj] = std::max(f[nj], f[j] + t[i] - w[i] * m);}}return f[W] >= 0;};double lo = 0, hi = std::accumulate(t.begin(), t.end(), 0);while (lo + eps <= hi) {double x = (lo + hi) / 2;if(check(x)) {lo = x;} else {hi = x;}}std::cout << (int)(1000 * lo) << '\n';return 0;
}

1.3.3 Desert King

原题链接

Desert King

思路分析

01 分数规划 + 最小生成树

l(i, j) 为 节点 i 和 j 之间的欧氏距离，h(i, j) 为二者高度差

那么二分最大比率 m，有 sum(l) / sum(h) <= m，即 sum(l - m * h) <= 0

我们对于 节点i，j，以 l(i, j) - m * h(i, j) 为边权求最小生成树即可。

由于是稠密图，所以 直接用prim算法

AC代码

#include <iostream>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <cassert>
#include <iomanip>const double eps = 1E-5;int main() {std::ios::sync_with_stdio(false);std::cin.tie(0);std::cout.tie(0);int n;while (std::cin >> n, n) {std::vector<int> x(n), y(n), z(n);for (int i = 0; i < n; ++ i) {std::cin >> x[i] >> y[i] >> z[i];}// sum(h) / sum(l) <= k// sum(h - l * k)std::vector<std::vector<double>> l(n, std::vector<double>(n));std::vector<std::vector<int>> h(n, std::vector<int>(n));for (int i = 0; i < n; ++ i) {for (int j = 0; j < n; ++ j) {l[i][j] = sqrt(1.0 * (x[i] - x[j]) * (x[i] - x[j]) + 1.0 * (y[i] - y[j]) * (y[i] - y[j]));h[i][j] = abs(z[i] - z[j]);}}double lo = 0, hi = 1000;while (lo + eps <= hi) {double m = (lo + hi) / 2;double res = 0;std::vector<bool> st(n);std::vector<double> min(n);for (int i = 0; i < n; ++ i) {min[i] = h[0][i] - m * l[0][i];}min[0] = 0;st[0] = true;for (int k = 0; k < n - 1; ++ k) {int mini = -1;for (int i = 0; i < n; ++ i) {if (!st[i] && (mini == -1 || min[mini] > min[i])) {mini = i;}}assert(mini != -1);res += min[mini];st[mini] = true;for (int i = 0; i < n; ++ i) {if (!st[i]) {min[i] = std::min(min[i], h[mini][i] - m * l[mini][i]);}}}if (res <= eps) {hi = m;} else {lo = m;}}std::cout << std::fixed << std::setprecision(3) << hi << '\n';}return 0;
}

1.3.4 P3199 [HNOI2009] 最小圈

原题链接

P3199 [HNOI2009] 最小圈

思路分析

二分最小值x，那么原式变形为 Σ w - x <= 0

我们在原图以 w - x 为新边权找负环即可

我用的是bellman-ford，不过本题不卡spfa，如果换spfa可以获得更短的运行时间

时间复杂度：O(nm logW)

AC代码

#include <bits/stdc++.h>using i64 = long long;int main() {std::ios::sync_with_stdio(false);std::cin.tie(nullptr);std::cout.tie(nullptr);int n, m;std::cin >> n >> m;std::vector<std::vector<std::pair<int, double>>> adj(n);for (int i =0; i < m; ++ i) {int u, v;double w;std::cin >> u >> v >> w;-- u, -- v;adj[u].emplace_back(v, w);}std::vector<double> dis(n);auto Bellman_Ford = [&](double x) -> bool {dis.assign(n, std::numeric_limits<double>::max());dis[0] = 0;bool flag = false;for (int i = 0; i < n; i++){flag = false;for (int u = 0; u < n; ++ u){if (dis[u] == std::numeric_limits<double>::max())continue;for (auto &[v, w] : adj[u]){if (dis[v] > dis[u] + w - x) {dis[v] = dis[u] + w - x;flag = true;}}}if (!flag)return false;}return flag;};double lo = -1E7, hi = 1E7;constexpr double eps = 1E-10;while (lo + eps <= hi) {double x = (lo + hi) / 2;if (Bellman_Ford(x)) {hi = x;} else{lo = x;}}std::cout << std::fixed << std::setprecision(8) << hi << '\n';return 0;
}

1.3.5 JSOI2016] 最佳团体

原题链接

P4322 [JSOI2016] 最佳团体

思路分析

树形背包 + 01分数规划

考虑从推荐人向被推荐人连有向边

二分最大值 M

那么有 Σ p - s * M >= 0

p - s * M 就是新的点权

我们在树上跑树形背包即可。 f(u, v) 为 以u 为根的子树，招募 v 个人的最大收益，需要一次dfs来预处理子树大小

为了减小常数，我们可以在第一次dfs的时候求dfs序列，然后在 dfs序列上跑树形背包。

AC代码

#include <bits/stdc++.h>using i64 = long long;constexpr double eps = 1E-6;int main() {std::ios::sync_with_stdio(false);std::cin.tie(nullptr);std::cout.tie(nullptr);// sum(p) / sum(s)int k, n;std::cin >> k >> n;++ k;std::vector<int> s(n + 1), p(n + 1), r(n + 1), siz(n + 1);std::vector<std::vector<int>> adj(n + 1);for (int i = 1; i <= n; ++ i) {std::cin >> s[i] >> p[i] >> r[i];adj[r[i]].push_back(i);}std::vector<int> seq(n + 1);int cur = 0;auto dfs = [&](auto &&self, int u) -> void{seq[cur ++] = u;siz[u] = 1;for (int v : adj[u]) {self(self, v);siz[u] += siz[v];}};dfs(dfs, 0);auto check = [&](double m) -> bool{std::vector<std::vector<double>> f(n + 2, std::vector<double>(k + 1, std::numeric_limits<double>::lowest() / 2));f[n + 1][0] = 0;for (int i = n; i >= 0; -- i) {f[i][0] = 0;for (int j = k; j >= 1; -- j) {f[i][j] = std::max(f[i + 1][j - 1] + (p[seq[i]] - s[seq[i]] * m), f[i + siz[seq[i]]][j]);}}return f[0][k] >= 0;};double lo = 0, hi = std::accumulate(s.begin(), s.end(), 0.0);while (lo + eps <= hi) {double x = (lo + hi) / 2;if (check(x)) {lo = x;} else {hi = x;}}std::cout << std::fixed << std::setprecision(3) << hi << '\n';return 0;
}