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C++ 中最短路算法的详细介绍

最短路算法是图论中的经典问题，旨在找到图中两个节点之间的边权和最小的路径。根据不同的需求和图的特点，有多种算法可以解决这一问题。本文将详细介绍几种常见的单源最短路算法，包括 Dijkstra 算法、Bellman-Ford 算法和 SPFA 算法，并提供相应的 C++ 实现代码。

一、Dijkstra 算法

1. 算法概述

Dijkstra 算法是由荷兰计算机科学家艾兹格·迪科斯彻（Edsger W. Dijkstra）在 1959 年提出的，用于计算单源最短路径。该算法适用于边权非负的有向图或无向图。

2. 算法原理

Dijkstra 算法的核心思想是贪心策略，通过不断选择当前未处理节点中距离起点最近的节点，逐步扩展到所有节点。具体步骤如下：

1. 初始化：设置起点到自身的距离为 $0$，其他节点的距离为无穷大（$INF$）。
2. 选择最小距离节点：从未处理的节点中选择距离起点最近的节点 u。
3. 更新邻接节点：遍历节点 u 的所有邻接节点 v，如果通过 u 到 v 的距离比当前记录的距离更短，则更新 v 的距离。
4. 标记已处理：将节点 u 标记为已处理。
5. 重复：重复步骤 2-4，直到所有节点都被处理。

3. C++ 实现

以下是 Dijkstra 算法的两种实现方式：朴素版和使用优先队列优化版。

3.1 朴素版 Dijkstra

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;const int N = 1005, INF = 1e9;
int n, m; // 节点数和边数
int d[N]; // 存储起点到各点的最短距离
bool st[N]; // 标记节点是否已处理
vector<pair<int, int>> adj[N]; // 邻接表表示图void dijkstra(int s) {fill(d, d + N, INF);d[s] = 0;for(int i = 1; i <= n; i++) {int u = -1;for(int j = 1; j <= n; j++) {if(!st[j] && (u == -1 || d[j] < d[u])) {u = j;}}if(u == -1) break;st[u] = true;for(auto [v, w] : adj[u]) {if(d[v] > d[u] + w) {d[v] = d[u] + w;}}}
}int main(){cin >> n >> m;for(int i = 0; i < m; i++) {int a, b, c;cin >> a >> b >> c;adj[a].emplace_back(b, c);// 如果是无向图，取消下面的注释// adj[b].emplace_back(a, c);}dijkstra(1); // 假设起点是1for(int i = 1; i <= n; i++) {cout << "从1到" << i << "的最短路为" << d[i] << endl;}return 0;
}

3.2 使用优先队列优化的 Dijkstra

为了优化时间复杂度，可以使用优先队列（堆）来快速选择当前距离起点最近的节点。这样可以将时间复杂度从 $O(n^2)$ 降低到 $O((n+m){\log }_{2}n)$。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;const int N = 1005, INF = 1e9;
int n, m; // 节点数和边数
int d[N]; // 存储起点到各点的最短距离
bool st[N]; // 标记节点是否已处理
vector<pair<int, int>> adj[N]; // 邻接表表示图void dijkstra(int s) {fill(d, d + N, INF);d[s] = 0;priority_queue<pair<int, int>, vector<pair<int, int>>, std::greater<pair<int, int>>> pq;pq.emplace(0, s);while(!pq.empty()){auto [dist, u] = pq.top(); pq.pop();if(st[u]) continue;st[u] = true;for(auto [v, w] : adj[u]){if(d[v] > d[u] + w){d[v] = d[u] + w;pq.emplace(d[v], v);}}}
}int main(){cin >> n >> m;for(int i = 0; i < m; i++) {int a, b, c;cin >> a >> b >> c;adj[a].emplace_back(b, c);// 如果是无向图，取消下面的注释// adj[b].emplace_back(a, c);}dijkstra(1); // 假设起点是1for(int i = 1; i <= n; i++) {cout << "从1到" << i << "的最短路为" << d[i] << endl;}return 0;
}

4. 适用场景与注意事项

• 边权非负：Dijkstra 算法要求所有边的权重为非负数。如果存在负权边，算法可能无法正确工作。
• 稀疏图与稠密图：对于稀疏图（边数远小于 $n^2$），使用优先队列优化的 Dijkstra 效率较高；对于稠密图，可以考虑使用 Floyd-Warshall 算法。
• 单源最短路径：Dijkstra 算法用于计算单源最短路径，即从一个起点到所有其他节点的最短路径。

二、Bellman-Ford 算法

1. 算法概述

Bellman-Ford 算法由 Robert Floyd 在 1956 年提出，用于计算单源最短路径。与 Dijkstra 算法不同，Bellman-Ford 算法能够处理含有负权边的图，但不适用于含有负权环的图。

2. 算法原理

Bellman-Ford 算法的核心思想是通过对所有边进行多次松弛操作，逐步逼近最短路径。具体步骤如下：

1. 初始化：设置起点到自身的距离为 $0$，其他节点的距离为无穷大（$INF$）。
2. 松弛操作：对图中的所有边进行 $n-1$ 次松弛操作，其中 $n$ 是节点数。每次松弛操作尝试通过当前边缩短起点到终点的距离。
3. 检测负权环：再进行一次松弛操作，如果仍有距离被更新，说明图中存在负权环。

3. C++ 实现

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;const int N = 1005, INF = 1e9;
int n, m; // 节点数和边数
int d[N]; // 存储起点到各点的最短距离
vector<tuple<int, int, int>> edges; // 存储所有边 (u, v, w)bool bellman_ford(int s) {fill(d, d + N, INF);d[s] = 0;// 进行 n-1 次松弛操作for(int i = 1; i < n; i++) {for(auto [u, v, w] : edges) {if(d[v] > d[u] + w) {d[v] = d[u] + w;}}}// 检测负权环for(auto [u, v, w] : edges) {if(d[v] > d[u] + w) {return false; // 存在负权环}}return true; // 不存在负权环
}int main(){cin >> n >> m;for(int i = 0; i < m; i++) {int a, b, c;cin >> a >> b >> c;edges.emplace_back(a, b, c);}if(bellman_ford(1)) { // 假设起点是1for(int i = 1; i <= n; i++) {cout << "从1到" << i << "的最短路为" << d[i] << endl;}} else {cout << "图中包含负环" << endl;}return 0;
}

4. 适用场景与注意事项

• 处理负权边：Bellman-Ford 算法能够正确处理含有负权边的图。
• 检测负权环：如果在 $n-1$ 次松弛后，仍能通过某条边缩短距离，说明图中存在负权环。
• 时间复杂度：Bellman-Ford 算法的时间复杂度为 $O(nm)$，在边数较多时效率较低。
• 不适用于含有负权环的图：如果图中存在负权环，算法无法正确计算最短路径。

三、SPFA 算法（队列优化的 Bellman-Ford）

1. 算法概述

SPFA（Shortest Path Faster Algorithm）是一种对 Bellman-Ford 算法的改进，通过使用队列来优化松弛操作的顺序，从而提高算法效率。SPFA 通常比 Bellman-Ford 更快，但在最坏情况下时间复杂度仍为 $O(nm)$。

2. 算法原理

SPFA 算法的核心思想是动态逼近最短路径，通过队列来维护需要松弛的节点。具体步骤如下：

1. 初始化：设置起点到自身的距离为 $0$，其他节点的距离为无穷大（$INF$）。将起点加入队列。
2. 松弛操作：从队列中取出一个节点 u，遍历其所有邻接节点 v，如果通过 u 到 v 的距离比当前记录的距离更短，则更新 v 的距离，并将 v 加入队列（如果 v 不在队列中）。
3. 重复：重复步骤 2，直到队列为空。
4. 检测负权环：如果某个节点被松弛的次数超过 $n-1$ 次，说明图中存在负权环。

3. C++ 实现

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;const int N = 1005, INF = 1e9;
int n, m; // 节点数和边数
int d[N]; // 存储起点到各点的最短距离
int cnt[N]; // 记录每个节点被松弛的次数
vector<pair<int, int>> adj[N]; // 邻接表表示图
bool in_queue[N]; // 标记节点是否在队列中
queue<int> q; // 队列用于SPFAbool spfa(int s) {fill(d, d + N, INF);d[s] = 0;q.push(s);in_queue[s] = true;cnt[s] = 1;while(!q.empty()){int u = q.front(); q.pop();in_queue[u] = false;for(auto [v, w] : adj[u]){if(d[v] > d[u] + w){d[v] = d[u] + w;if(!in_queue[v]){q.push(v);in_queue[v] = true;cnt[v]++;if(cnt[v] > n) return false; // 存在负权环}}}}return true; // 不存在负权环
}int main(){cin >> n >> m;for(int i = 0; i < m; i++) {int a, b, c;cin >> a >> b >> c;adj[a].emplace_back(b, c);// 如果是无向图，取消下面的注释// adj[b].emplace_back(a, c);}if(spfa(1)) { // 假设起点是1for(int i = 1; i <= n; i++) {cout << "从1到" << i << "的最短路为" << d[i] << endl;}} else {cout << "图中包含负环" << endl;}return 0;
}

4. 适用场景与注意事项

• 处理负权边：SPFA 算法能够正确处理含有负权边的图。
• 检测负权环：通过记录每个节点被松弛的次数，可以检测图中是否存在负权环。
• 平均时间复杂度较低：在一般情况下，SPFA 的平均时间复杂度比 Bellman-Ford 低，但最坏情况下仍为 $O(nm)$。
• 不保证最优性：在某些特殊情况下，SPFA 可能无法得到最优解，需要结合具体问题进行分析。

四、Floyd-Warshall 算法（多源最短路）

1. 算法概述

Floyd-Warshall 算法由 Robert Floyd 在 1962 年提出，用于计算图中所有节点对之间的最短路径。该算法适用于含有正权和负权边的有向图或无向图，但不适用于含有负权环的图。

2. 算法原理

Floyd-Warshall 算法基于动态规划的思想，通过枚举中间节点 k，逐步更新所有节点对之间的最短路径。具体步骤如下：

1. 初始化：创建一个二维数组 d，其中 d[i][j] 表示节点 i 到节点 j 的最短距离。初始时，d[i][j] 为节点 i 到节点 j 的直接边的权重，如果没有直接边，则设为无穷大（$INF$）。对角线上的元素 d[i][i] 设为 $0$。
2. 动态规划：对于每个中间节点 k，遍历所有节点对 (i, j)，如果通过 k 可以缩短 i 到 j 的距离，则更新 d[i][j]。
3. 结果：最终，d[i][j] 将包含节点 i 到节点 j 的最短距离。如果 d[i][j] 仍为无穷大，说明 i 无法到达 j。

3. C++ 实现

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;const int N = 105, INF = 1e9;
int n, m; // 节点数和边数
int d[N][N]; // 存储最短距离矩阵void floyd(){// 初始化距离矩阵for(int i = 1; i <= n; i++) {for(int j = 1; j <= n; j++) {if(i == j) d[i][j] = 0;else d[i][j] = INF;}}// 读取边并更新距离矩阵for(int i = 0; i < m; i++) {int a, b, c;cin >> a >> b >> c;d[a][b] = min(d[a][b], c);// 如果是无向图，取消下面的注释// d[b][a] = min(d[b][a], c);}// Floyd-Warshall算法核心部分for(int k = 1; k <= n; k++) {for(int i = 1; i <= n; i++) {for(int j = 1; j <= n; j++) {if(d[i][k] + d[k][j] < d[i][j]) {d[i][j] = d[i][k] + d[k][j];}}}}
}int main(){cin >> n >> m;floyd();// 输出所有节点对的最短距离for(int i = 1; i <= n; i++) {for(int j = 1; j <= n; j++) {if(d[i][j] == INF) cout << "INF ";else cout << d[i][j] << " ";}cout << endl;}return 0;
}

4. 适用场景与注意事项

• 处理负权边：Floyd-Warshall 算法能够正确处理含有负权边的图。
• 检测负权环：Floyd-Warshall 算法可以检测图中是否存在负权环。
• 时间复杂度较高：在密集图中，即边数接近顶点数平方的情况下，Floyd-Warshall算法的效率相对较高。但该算法的时间复杂度为$O(n^3)$，其中n是图中顶点的数量。因此，在处理大规模图时，可能会遇到性能问题。
• 空间复杂度较高：算法的空间复杂度为$O(n^2)$，需要存储一个$n\times n$的距离矩阵。在内存受限的环境中，这可能成为一个考虑因素。
• 不适用于含有负权环的图：如果图中存在负权环，Floyd-Warshall 算法无法正确计算最短路径。在这种情况下，可以考虑使用其他算法，如Bellman-Ford算法。