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二、树相关的填空题
1.对于一个具有 n 个结点的二叉树，当它为一棵 ________ 二叉树时，具有最小高度，即为 ________；当它为一棵单支树时具有最大高度，即为 ________。
2.对于一个具有 n 个结点的二叉树，当它存储在二叉链表中时，其指针字段的总数为 ________ 个，其中 ________ 个用于链接孩子结点; _______ 个空闲。
3.一棵深度为 k 的满二叉树的结点总数为 ________，
一棵深度为 k 的完全二叉树的结点总数的最小值为 ________，最大值为 ________。
4. 由三个结点构成的二叉树，共有 ________ 种不同的结构。
答案分析：
我们来逐条分析这些填空题的正确答案，并给出详细的解释。
第1题：
对于一个具有 n 个结点的二叉树，当它为一棵 ________ 二叉树时，具有最小高度，即为 ________；当它为一棵单支树时具有最大高度，即为 ________。
✅ 答案：
满二叉树， ⌈ log 2 ( n + 1 ) ⌉ \left\lceil \log_2(n+1) \right\rceil ⌈log2(n+1)⌉， n
🔍 解释：
-
最小高度出现在完全填满的情况下，也就是满二叉树（Full Binary Tree）。
- 满二叉树每一层都填满了节点。
- 高度 $ h $ 的满二叉树最多有 $ 2^h - 1 $ 个节点；
- 所以对于 n 个节点来说，最小高度为满足 $ 2^{h} - 1 \geq n $ 的最小 h，即：
h = ⌈ log 2 ( n + 1 ) ⌉ h = \left\lceil \log_2(n + 1) \right\rceil h=⌈log2(n+1)⌉
-
最大高度出现在单支树（退化成链表）的情况下，每个节点只有一个孩子，所以高度为 n。
第2题：
对于一个具有 n 个结点的二叉树，当它存储在二叉链表中时，其指针字段的总数为 ________ 个，其中 ________ 个用于链接孩子结点，________ 个空闲。
✅ 答案：
2n， n - 1， n + 1
🔍 解释：
- 每个节点有两个指针域（左孩子和右孩子），共 2n 个指针；
- 除了根节点外，每个节点都被一个指针所指向，所以只有 n - 1 个指针被使用；
- 因此，空指针数 = 总指针数 - 使用的指针数 = 2n - (n - 1) = n + 1
第3题：
一棵深度为 k 的满二叉树的结点总数为 ________，
一棵深度为 k 的完全二叉树的结点总数的最小值为 ________，最大值为 ________。
✅ 答案：
2 k − 1 2^k - 1 2k−1， 2 k − 1 2^{k-1} 2k−1， 2 k − 1 2^k - 1 2k−1
🔍 解释：
- 满二叉树：每层都填满，总节点数是：
2 0 + 2 1 + ⋯ + 2 k − 1 = 2 k − 1 2^0 + 2^1 + \cdots + 2^{k-1} = 2^k - 1 20+21+⋯+2k−1=2k−1 - 完全二叉树：最后一层可以不满，但必须从左到右连续填充；
- 最小情况：只有最后一层有一个节点，其余层都是满的，即：
2 k − 1 2^{k-1} 2k−1 - 最大情况：就是满二叉树的情况，即：
2 k − 1 2^k - 1 2k−1
- 最小情况：只有最后一层有一个节点，其余层都是满的，即：
第4题：
由三个结点构成的二叉树，共有 ________ 种不同的结构。
✅ 答案：
5
🔍 解释：
这是求不同形态的二叉树数量的问题。
对于 n 个节点的不同结构的二叉树数目，是一个经典的卡特兰数问题。
- 卡特兰数公式：
C n = 1 n + 1 ( 2 n n ) C_n = \frac{1}{n+1} \binom{2n}{n} Cn=n+11(n2n) - 当 n = 3 时：
C 3 = 1 4 ( 6 3 ) = 1 4 × 20 = 5 C_3 = \frac{1}{4} \binom{6}{3} = \frac{1}{4} \times 20 = 5 C3=41(36)=41×20=5
✅ 五种不同结构（形态）如下（根节点设为 A，左子树、右子树用 B、C 表示）：
结构 1：
A/B/
C
A 只有左孩子 B
B 只有左孩子 C
结构 2：
A/B\C
A 只有左孩子 B
B 只有右孩子 C
结构 3：
A/ \B C
A 有两个孩子：B（左），C（右）
结构 4：
A\B/C
A 只有右孩子 B
B 只有左孩子 C
结构 5：
A\B\C
A 只有右孩子 B
B 只有右孩子 C
✳️ 总结：
结构编号 图形表示
1 A → B → C（全左单支）
2 A → B ←→ C（B 右子节点）
3 A 有两个孩子 B 和 C（完整层次）
4 A → (右) B → (左) C
5 A → (右) B → (右) C（全右单支）
🧠 补充说明：
- 每一种结构都代表了不同的拓扑形态。
- 虽然结点名可以任意改变，但在不考虑名字的情况下，只有这5种互不相同的二叉树结构。
- 注意区分“结构不同”与“中序/先序遍历顺序不同”，这里是根据形状来判断的。
✅ 最终完整答案汇总如下：
| 题号 | 填空内容 | 正确答案 |
|---|---|---|
| 1 | 对于一个具有 n 个结点的二叉树，当它为一棵 ________ 二叉树时，具有最小高度，即为 ________；当它为一棵单支树时具有最大高度，即为 ________。 | 满， ⌈ log 2 ( n + 1 ) ⌉ \left\lceil \log_2(n+1) \right\rceil ⌈log2(n+1)⌉， n |
| 2 | 其指针字段的总数为 ________ 个，其中 ________ 个用于链接孩子结点，________ 个空闲。 | 2n， n - 1， n + 1 |
| 3 | 满二叉树的结点总数为 ________，完全二叉树的结点总数的最小值为 ________，最大值为 ________。 | 2 k − 1 2^k - 1 2k−1， 2 k − 1 2^{k-1} 2k−1， 2 k − 1 2^k - 1 2k−1 |
| 4 | 由三个结点构成的二叉树，共有 ________ 种不同的结构。 | 5 |