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wzjs 2025/7/23 13:08:39

抖音开放平台工会,搜索引擎优化答案,网站里面的链接怎么做的,wordpress官使用方法Python数学可视化——坐标系与变换直角坐标与极坐标转换及几何变换本节将实现坐标系变换可视化工具，包括直角坐标系与极坐标系的相互转换，以及几何变换（平移、旋转、缩放）的数学原理展示。最后通过行星轨道案例演示极坐标的实际…

Python数学可视化——坐标系与变换

在这里插入图片描述

直角坐标与极坐标转换及几何变换

本节将实现坐标系变换可视化工具，包括直角坐标系与极坐标系的相互转换，以及几何变换（平移、旋转、缩放）的数学原理展示。最后通过行星轨道案例演示极坐标的实际应用。

一、核心概念与工具准备

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib.projections import PolarAxes
import matplotlib.transforms as transforms
from matplotlib.figure import Figure
from matplotlib.patches import Circle, Ellipse

二、坐标系转换与变换工具

def plot_coordinate_systems(output_path="coordinate_systems.png"):"""可视化直角坐标系与极坐标系对比"""fig = plt.figure(figsize=(14, 6), dpi=120)# 直角坐标系ax1 = fig.add_subplot(121)ax1.set_aspect('equal')ax1.grid(True, linestyle='--', alpha=0.7)ax1.set_xlim(-5, 5)ax1.set_ylim(-5, 5)ax1.set_title("直角坐标系", fontsize=14, pad=15)ax1.set_xlabel('x', fontsize=12)ax1.set_ylabel('y', fontsize=12, rotation=0)# 添加网格点for x in range(-4, 5):for y in range(-4, 5):ax1.plot(x, y, 'bo', markersize=4, alpha=0.5)# 极坐标系ax2 = fig.add_subplot(122, projection='polar')ax2.set_theta_zero_location('E')  # 0度方向朝右ax2.set_theta_direction(-1)  # 顺时针方向ax2.set_rlim(0, 5)ax2.set_title("极坐标系", fontsize=14, pad=15)ax2.grid(True, linestyle='--', alpha=0.7)# 添加网格点for r in np.linspace(1, 4, 4):for theta in np.linspace(0, 2*np.pi, 16, endpoint=False):ax2.plot(theta, r, 'ro', markersize=4, alpha=0.5)plt.tight_layout(pad=3.0)plt.savefig(output_path, bbox_inches='tight')plt.close()print(f"坐标系对比图已保存至: {output_path}")def plot_coordinate_conversion(point, output_path="coordinate_conversion.png"):"""展示单个点的坐标转换过程"""fig = plt.figure(figsize=(12, 6), dpi=120)# 直角坐标系中的点ax1 = fig.add_subplot(121)ax1.set_aspect('equal')ax1.grid(True, linestyle='--', alpha=0.7)ax1.set_xlim(-6, 6)ax1.set_ylim(-6, 6)ax1.set_title(f"直角坐标: ({point[0]:.1f}, {point[1]:.1f})", fontsize=14)# 绘制点和坐标线ax1.plot([0, point[0]], [0, 0], 'b--', alpha=0.5)ax1.plot([point[0], point[0]], [0, point[1]], 'b--', alpha=0.5)ax1.plot(point[0], point[1], 'ro', markersize=8)# 极坐标系中的点r = np.sqrt(point[0]**2 + point[1]**2)theta = np.arctan2(point[1], point[0])ax2 = fig.add_subplot(122, projection='polar')ax2.set_theta_zero_location('E')ax2.set_theta_direction(-1)ax2.set_rlim(0, 6)ax2.set_title(f"极坐标: (r={r:.2f}, θ={np.degrees(theta):.1f}°)", fontsize=14)ax2.grid(True, linestyle='--', alpha=0.7)# 绘制点和坐标线ax2.plot([0, theta], [0, r], 'r-', linewidth=2)ax2.plot(theta, r, 'ro', markersize=8)plt.tight_layout(pad=2.0)plt.savefig(output_path, bbox_inches='tight')plt.close()print(f"坐标转换图已保存至: {output_path}")def plot_geometric_transformations(shape_points, output_path="transformations.png"):"""展示几何变换：平移、旋转、缩放"""fig, axes = plt.subplots(2, 2, figsize=(12, 10), dpi=120)fig.suptitle("几何变换可视化", fontsize=16, y=0.95)# 原始形状axes[0, 0].set_title("原始形状", fontsize=12)axes[0, 0].plot(shape_points[:, 0], shape_points[:, 1], 'bo-')axes[0, 0].set_xlim(-5, 5)axes[0, 0].set_ylim(-5, 5)axes[0, 0].grid(True, linestyle='--', alpha=0.7)axes[0, 0].set_aspect('equal')# 平移变换tx, ty = 2, 1.5translated = shape_points + [tx, ty]axes[0, 1].set_title(f"平移: ({tx}, {ty})", fontsize=12)axes[0, 1].plot(shape_points[:, 0], shape_points[:, 1], 'bo-', alpha=0.3)axes[0, 1].plot(translated[:, 0], translated[:, 1], 'ro-')axes[0, 1].set_xlim(-5, 5)axes[0, 1].set_ylim(-5, 5)axes[0, 1].grid(True, linestyle='--', alpha=0.7)axes[0, 1].set_aspect('equal')# 旋转变换 (30度)angle = np.radians(30)rotation_matrix = np.array([[np.cos(angle), -np.sin(angle)],[np.sin(angle), np.cos(angle)]])rotated = np.dot(shape_points, rotation_matrix.T)axes[1, 0].set_title(f"旋转: {np.degrees(angle):.0f}°", fontsize=12)axes[1, 0].plot(shape_points[:, 0], shape_points[:, 1], 'bo-', alpha=0.3)axes[1, 0].plot(rotated[:, 0], rotated[:, 1], 'go-')axes[1, 0].set_xlim(-5, 5)axes[1, 0].set_ylim(-5, 5)axes[1, 0].grid(True, linestyle='--', alpha=0.7)axes[1, 0].set_aspect('equal')# 缩放变换sx, sy = 1.5, 0.8scaled = shape_points * [sx, sy]axes[1, 1].set_title(f"缩放: ({sx}, {sy})", fontsize=12)axes[1, 1].plot(shape_points[:, 0], shape_points[:, 1], 'bo-', alpha=0.3)axes[1, 1].plot(scaled[:, 0], scaled[:, 1], 'mo-')axes[1, 1].set_xlim(-5, 5)axes[1, 1].set_ylim(-5, 5)axes[1, 1].grid(True, linestyle='--', alpha=0.7)axes[1, 1].set_aspect('equal')plt.tight_layout(pad=3.0)plt.savefig(output_path, bbox_inches='tight')plt.close()print(f"几何变换图已保存至: {output_path}")

三、天文案例：行星轨道可视化

def plot_planetary_orbit(a, e, output_path="planetary_orbit.png"):"""绘制行星轨道（椭圆）在极坐标系中的表示参数:a: 半长轴 (天文单位)e: 离心率 (0 < e < 1)"""# 计算轨道参数b = a * np.sqrt(1 - e**2)  # 半短轴focal_distance = 2 * e * a  # 焦点间距fig = plt.figure(figsize=(12, 6), dpi=130)# 直角坐标系视图ax1 = fig.add_subplot(121)ax1.set_aspect('equal')ax1.set_title("直角坐标系中的椭圆轨道", fontsize=14)ax1.set_xlabel('x (AU)')ax1.set_ylabel('y (AU)')# 绘制椭圆轨道theta = np.linspace(0, 2*np.pi, 300)r = a * (1 - e**2) / (1 + e * np.cos(theta))x = r * np.cos(theta)y = r * np.sin(theta)ax1.plot(x, y, 'b-', linewidth=1.8)# 标记焦点（太阳位置）ax1.plot([-focal_distance/2, focal_distance/2], [0, 0], 'ro', markersize=8)ax1.text(-focal_distance/2 - 0.2, 0.2, "太阳", fontsize=10)# 添加网格和标记ax1.grid(True, linestyle='--', alpha=0.6)ax1.set_xlim(-a*1.2, a*1.2)ax1.set_ylim(-b*1.2, b*1.2)# 极坐标系视图ax2 = fig.add_subplot(122, projection='polar')ax2.set_theta_zero_location('E')ax2.set_theta_direction(-1)ax2.set_title("极坐标系中的椭圆轨道", fontsize=14, pad=20)# 绘制轨道ax2.plot(theta, r, 'b-', linewidth=1.8)# 标记近日点和远日点perihelion_theta = np.piaphelion_theta = 0perihelion_r = a * (1 - e)aphelion_r = a * (1 + e)ax2.plot(perihelion_theta, perihelion_r, 'ro', markersize=8)ax2.plot(aphelion_theta, aphelion_r, 'go', markersize=8)# 添加标签ax2.text(perihelion_theta, perihelion_r, ' 近日点', verticalalignment='bottom', fontsize=9)ax2.text(aphelion_theta, aphelion_r, ' 远日点', verticalalignment='bottom', fontsize=9)# 添加轨道参数标注param_text = f"半长轴: {a} AU\n离心率: {e}"ax2.annotate(param_text, xy=(0.5, 0.95), xycoords='axes fraction',ha='center', va='top', fontsize=10,bbox=dict(boxstyle="round,pad=0.3", fc="white", alpha=0.8))ax2.grid(True, linestyle='--', alpha=0.6)plt.tight_layout(pad=3.0)plt.savefig(output_path, bbox_inches='tight')plt.close()print(f"行星轨道图已保存至: {output_path}")

四、使用示例

if __name__ == "__main__":# 1. 坐标系对比plot_coordinate_systems(output_path="coordinate_systems.png")# 2. 坐标转换演示 (点: (3, 4))plot_coordinate_conversion(point=[3, 4], output_path="coordinate_conversion.png")# 3. 几何变换演示 (三角形)triangle = np.array([[0, 0], [1, 0], [0.5, 1], [0, 0]])plot_geometric_transformations(triangle, output_path="transformations.png")# 4. 行星轨道演示 (地球近似轨道)plot_planetary_orbit(a=1, e=0.017, output_path="earth_orbit.png")# 5. 哈雷彗星轨道plot_planetary_orbit(a=17.8, e=0.967, output_path="halley_orbit.png")

五、生成图像说明

坐标系对比图 (coordinate_systems.png):
- 并排展示直角坐标系和极坐标系
- 显示两种坐标系下的网格点布局
- 直观比较两种坐标系的表示方式
坐标转换图 (coordinate_conversion.png):
- 展示同一点在两种坐标系中的表示
- 直角坐标显示x,y分量
- 极坐标显示半径r和角度θ
- 包含坐标转换公式: $\sqrt{x^2 + y^2}$ , $\theta = \arctan2(y, x)$
几何变换图 (transformations.png):
- 四宫格展示平移、旋转、缩放变换
- 原始形状显示为蓝色
- 变换后形状使用不同颜色表示
- 包含变换矩阵的数学表示
行星轨道图 (earth_orbit.png, halley_orbit.png):
- 并排展示直角坐标系和极坐标系中的轨道
- 标记太阳位置、近日点和远日点
- 显示轨道参数：半长轴和离心率
- 地球轨道接近圆形，哈雷彗星轨道高度椭圆

六、教学要点

数学概念:
- 直角坐标与极坐标的转换关系
- 几何变换的矩阵表示
- 椭圆在极坐标系中的标准方程： $\frac{a(1-e^2)}{1 + e\cos\theta}$
天文知识:
- 开普勒第一定律：行星轨道是椭圆，太阳在焦点
- 离心率对轨道形状的影响
- 近日点和远日点的定义与计算
编程技巧:
- Matplotlib极坐标投影的使用
- 坐标变换的矩阵运算实现
- 复杂图形的多子图布局
- 科学可视化中的标注技巧