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wzjs 2025/9/6 1:41:16

大学生兼职网站开发,wordpress 分享到,哪里可以找到免费的网站,深圳企业黄页信息查询目录 1. 理解刚体的“自由度”（Degrees of Freedom, DOF） 1.1 平面运动 (2D) 1.2 空间运动 (3D) 2. 统一描述：引入“体坐标系”（Body Frame） 3. 从“状态”到“运动”：引入微分 3.1 补充：…

1. 理解刚体的“自由度”（Degrees of Freedom, DOF）

1.1 平面运动 (2D)

1.2 空间运动 (3D)

2. 统一描述：引入“体坐标系”（Body Frame）

3. 从“状态”到“运动”：引入微分

3.1 补充：如何理解微分

4. 移动状态 - 位置向量 (Position Vector)

4.1 关于向量的两种含义

5. 转动姿态 - 旋转矩阵 (Rotation Matrix)

5.1 旋转矩阵与投影 (Direct Cosines)

5.1.1 点积 “⋅” (内积) 得到投影

5.1.2 一句话概括 (旋转矩阵)

5.2 计算旋转矩阵实例

5.2.1 例1 (简单情况) ：

5.2.2 例2 (需要投影计算) ：

6. 随堂测试 (姿态->世界坐标)

台大公开课链接：機器人學一 (Robotics (1)) - 物體在空間運動之描述 (一) - 第 1 周 | Coursera
视频链接：1-1 导论_哔哩哔哩_bilibili
上回书说到：机器人学入门 (从机械手臂开始的智能世界) 笔记 0.1 (台大机器人学-林沛群)-CSDN博客
以下是视频课程的详细笔记（后续会持续更新）

本系列课程将深入探讨机械手臂的运动学与操作。在正式进入机械手臂的具体内容之前，我们需要补充一些必备的数学基础，核心在于如何精确地描述一个“刚体”（Rigid Body）的运动状态。这是因为在后续分析中，我们通常将机械手臂的各个部件视为刚体来处理。

补充：

刚体是一个理想化的固体，其大小和形状在受到力的作用时保持不变，用于牛顿力学中对真实物体进行建模

1. 理解刚体的“自由度”（Degrees of Freedom, DOF）

我们先从最简单的情况入手：如何描述一个刚体的运动？

1.1 平面运动 (2D)

想象一个在平面上运动的物体，例如PPT上展示的那个绿色椭圆。我们可以在平面上定义一个“世界坐标系”（World Frame），通常用 {W} 或 {A} 表示，它有X和Y两个轴。

要描述这个物体在平面上的运动，需要多少个参数呢？

移动 (Translation)：物体可以在平面上沿X轴（水平）和Y轴（竖直）移动。因此，需要两个参数来确定其位置。这对应两个移动自由度 (3 DOFs)。
转动 (Rotation)：物体还可以在平面内绕着某个点旋转（顺时针或逆时针）。这需要一个参数来描述其朝向。这对应一个转动自由度 (1 DOF)。

总结来说，描述一个平面刚体的运动状态，总共需要 3个自由度（2个移动 + 1个转动）。

1.2 空间运动 (3D)

现在考虑空间中的刚体。世界坐标系相应地增加一个Z轴，变为三维坐标系 {W} (或 {A}) 。

移动 (Translation)：物体的质心可以在空间中沿X轴（左右）、Y轴（上下）和Z轴（前后）移动。因此，需要三个参数来描述其位置。对应三个移动自由度 (3 DOFs)。
转动 (Rotation)：物体可以分别绕着X轴、Y轴和Z轴进行旋转。这需要三个参数来描述其姿态。对应三个转动自由度 (3 DOFs)。

因此，描述一个空间刚体的运动状态，总共需要 6个自由度（3个移动 + 3个转动）。

2. 统一描述：引入“体坐标系”（Body Frame）

既然刚体运动包含移动和转动两部分，有没有一种简洁的方法能将它们统一起来表达呢？

答案是在 刚体本身 上建立一个坐标系，我们称之为“体坐标系”（Body Frame），通常用 {B} 表示。这个坐标系是固定在刚体上的，会随着刚体一起运动。通常，我们会将体坐标系的原点建立在刚体的一个固定点上，比如质心 (被视为质量的中心) 。如上图所示，在绿色刚体上画上了一个橘色的坐标系统 {B} 。

通过引入体坐标系 {B}，我们可以这样描述刚体的状态：

移动状态：通过追踪体坐标系 {B} 的原点 (质心) 相对于世界坐标系 {A} (或称为{W}) 的位置来确定。
转动状态（姿态）：通过观察体坐标系 {B} 的三个坐标轴（,,）相对于世界坐标系 {A} (或称为{W}) 的朝向或姿态来确定。

这样，借助体坐标系的原点位置和三个轴的姿态，我们就能同时描述刚体的移动和转动状态了。

3. 从“状态”到“运动”：引入微分

前面讨论的是某个瞬间的几何状态（位置和姿态）。而“运动”是状态随时间的变化。如何描述这种变化呢？

速度与加速度：记录下刚体质心（即体坐标系原点）在不同时间点的位置，形成一条运动轨迹（如PPT中的红色曲线）。对这条轨迹（位置向量）关于时间进行一次微分，得到质心的速度；进行二次微分，得到质心的加速度 。
角速度与角加速度：类似地，通过对描述姿态的参数（我们稍后会详细介绍，如旋转矩阵）进行一次和二次微分，可以得到刚体的角速度和角加速度 。

3.1 补充：如何理解微分

图中曲线 f(x) 在 x0 处有一条切线，微分 dy 就基于这条切线来近似表示函数的变化
当 x 产生微小变化 △x 时，切线上对应的变化量就是 dy，它是对函数实际变化 △y 的近似
这种用切线的线性变化（微分 dy）“以直代曲” 来描述微小变化，正是微分的本质

因此，只要能精确描述刚体在任意时刻的几何状态（6个自由度），通过微分运算，就能掌握其完整的运动状态（速度、加速度、角速度、角加速度）。

4. 移动状态 - 位置向量 (Position Vector)

我们来更具体地量化描述移动。如前所述，我们在刚体（绿色椭圆）上建立了体坐标系 {B}（橘色），并在旁边设置了世界坐标系 {A} 。要描述移动，关键是追踪体坐标系 {B} 原点（通常设在质心）的位置 。

在三维空间中，这个向量有三个分量：，和 Pz。例如，上图中的例子向量 P = [10,3,3]，意味着体坐标系原点在世界坐标系 X轴上的投影距离是10，Y轴上是3，Z轴上也是3 。只要我们知道在任何时刻这三个分量的值，就能精确掌握刚体重心在空间中的位置。

4.1 关于向量的两种含义

表示空间中的一个点 (Position)：如我们刚才使用的位置向量，它定义了体坐标系原点（或质心）在世界坐标系中的绝对位置。
表示一个方向和大小 (Vector/Displacement)：向量也可以仅表示一个方向和大小，例如体坐标系 {B} 的三个主轴各自指向一个方向。描述这些方向是理解刚体转动的关键，我们将在下一部分详细讨论。