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并查集（Union-Find）是一种高效处理元素分组和集合操作的数据结构，主要用于解决动态连通性问题，例如判断两个元素是否属于同一集合、合并两个集合等。其核心操作包括：查找（Find）和合并（Union）。

并查集的基本概念

1. 集合表示
   用树形结构表示集合，每个节点包含一个父节点指针。例如，元素x的父节点为parent[x]，当parent[x]=x时， x是集合的根节点（代表元）。
2. 核心操作
   • 查找（Find）：找到元素所属集合的根节点，用于判断两个元素是否连通。
   • 合并（Union）：将两个集合合并为一个集合，通过将一个集合的根节点指向另一个集合的根节点实现。

并查集的实现与优化

基础实现

public class UnionFind {private int[] parent; // 父节点数组// 初始化：每个元素自成一个集合public UnionFind(int n) {parent = new int[n + 1];for (int i = 1; i <= n; i++) {parent[i] = i;}}// 查找元素x的根节点（路径压缩前）public int find(int x) {if (parent[x] != x) {return find(parent[x]);}return x;}// 合并集合x和集合ypublic void union(int x, int y) {int rootX = find(x);int rootY = find(y);if (rootX != rootY) {parent[rootY] = rootX;}}// 判断x和y是否连通public boolean isConnected(int x, int y) {return find(x) == find(y);}
}

优化 1：路径压缩（Path Compression）

查找时将路径上的所有节点直接指向根节点，降低树的高度，使查找时间复杂度接近常数。

注意：有时路径压缩会影响后续操作，因为路径压缩时路径上的节点会直接连接到根节点。

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public int find(int x) {if (parent[x] != x) {parent[x] = find(parent[x]); // 路径压缩：父节点直接指向根}return parent[x];
}

优化 2：按秩合并（Union by Rank）

合并时将秩（树的高度或大小）较小的树合并到秩较大的树下，避免树退化为链表。

private int[] rank; // 秩数组public UnionFind(int n) {parent = new int[n + 1];rank = new int[n + 1];for (int i = 1; i <= n; i++) {parent[i] = i;rank[i] = 1; // 初始秩为1}
}public void union(int x, int y) {int rootX = find(x);int rootY = find(y);if (rootX == rootY) return;// 按秩合并：秩小的树合并到秩大的树下if (rank[rootX] < rank[rootY]) {parent[rootX] = rootY;} else {parent[rootY] = rootX;if (rank[rootX] == rank[rootY]) {rank[rootX]++; // 若秩相等，合并后根节点的秩+1}}
}

最终优化代码

public class UnionFind {private int[] parent;  // 父节点数组private int[] rank;    // 秩数组，用于按秩合并，避免树退化为链表/*** 初始化并查集* @param n 元素个数（编号从1到n）*/public UnionFind(int n) {parent = new int[n + 1];rank = new int[n + 1];for (int i = 1; i <= n; i++) {parent[i] = i;     // 初始时每个元素的父节点是自身rank[i] = 1;       // 初始时每个树的秩为1（高度或节点数）}}/*** 查找元素x所属集合的根节点（带路径压缩）* @param x 元素编号* @return 根节点编号*/public int find(int x) {if (parent[x] != x) {parent[x] = find(parent[x]);  // 路径压缩：将路径上的节点直接指向根}return parent[x];}/*** 合并两个集合* @param x 第一个元素* @param y 第二个元素*/public void union(int x, int y) {int rootX = find(x);  // 找到x的根节点int rootY = find(y);  // 找到y的根节点if (rootX == rootY) {return;  // 已在同一集合，无需合并}// 按秩合并：将秩较小的树合并到秩较大的树下，保持树的平衡if (rank[rootX] < rank[rootY]) {parent[rootX] = rootY;} else {parent[rootY] = rootX;if (rank[rootX] == rank[rootY]) {rank[rootX]++;  // 若秩相等，合并后根节点的秩+1}}}/*** 判断两个元素是否属于同一集合* @param x 第一个元素* @param y 第二个元素* @return true表示连通，false表示不连通*/public boolean isConnected(int x, int y) {return find(x) == find(y);}/*** 获取集合数量* @return 集合数量*/public int getSetCount() {int count = 0;for (int i = 1; i < parent.length; i++) {if (parent[i] == i) {count++;}}return count;}
}