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逻辑回归
逻辑回归是一种用于解决二分类任务（如预测是否是猫咪等）的统计学习方法。尽管名称中包含“回归”，但其本质是通过线性回归的变体输出概率值，并使用Sigmoid函数将线性结果映射到[0,1]区间。
以猫咪预测为例
假设单个样本/单张图片为（ x \mathbf{x} x， y \mathbf{y} y），特征向量X = x \mathbf{x} x，则 y ^ \hat{y} y^即为X的预测值， y ^ \hat{y} y^=P（y= y \mathbf{y} y/ x \mathbf{x} x）, y ^ \hat{y} y^∈（0,1）。
假设特征权重参数为 w \mathbf{w} w，是一个nx维的向量，则有：
y ^ \hat{y} y^= σ \sigma σ（ w ⊤ w^\top w⊤ x \mathcal{x} x+ b \mathcal{b} b）
z \mathcal{z} z = w ⊤ w^\top w⊤ x \mathcal{x} x+ b \mathcal{b} b
y ^ \hat{y} y^= σ （ z ） \sigma（z） σ（z）
Sigmoid函数
Sigmoid函数是一种常用的S型激活函数，数学表达式为：
σ ( z ) = 1 1 + e − z \sigma(z) = \frac{1}{1 + e^{-z}} σ(z)=1+e−z1
机器学习便是学习参数 x \mathcal{x} x和 b \mathcal{b} b，使得 y ^ \hat{y} y^尽可能接近实际值 y \mathcal{y} y。
符号惯例介绍
定义一个额外特征向量 x 0 \mathcal{x_0} x0 =1，
y ^ \hat{y} y^= σ \sigma σ( θ T \theta^{T} θT x \mathcal{x} x )，其中 θ 0 \theta_0 θ0充当 b \mathcal{b} b，其余 θ 1 \theta_1 θ1到 θ n x \theta_{nx} θnx充当 w \mathbf{w} w
核心特性
- 输出范围：$ (0,1) $，适合概率映射
- 单调性：全程可导且导数最大值为$ 0.25 （出现在 （出现在 （出现在x=0$处）
- 导数特性： σ ′ ( x ) = σ ( x ) ( 1 − σ ( x ) ) \sigma'(x) = \sigma(x)(1 - \sigma(x)) σ′(x)=σ(x)(1−σ(x))，便于梯度计算
Python实现
import numpy as npdef sigmoid(x):return 1 / (1 + np.exp(-x))# 支持向量化计算
print(sigmoid(np.array([-1.0, 0.0, 1.0]))) # 输出：[0.2689, 0.5, 0.7311]
典型应用
- 逻辑回归中的概率转换
- 神经网络隐藏层的激活函数
- 强化学习中的动作选择概率
局限说明
- 深层网络易出现梯度消失（导数值随网络深度指数衰减）
- 输出不以零为中心可能影响优化效率
- 现多被ReLU系列函数替代用于隐藏层