河北省建设中心网站奥运网站模板
【典范硬币系统】
● 典范硬币系统（Canonical Coin System）是指使用贪心算法总能得到最少硬币数量解的货币面值组合。
● 给定一个硬币系统 ，若使其为典范硬币系统，则要求其各相邻面值比例
，及各开区间
内各金额
（非面值）的余数覆盖成本
小于相邻面值比例
，即
，其中，
。当余数覆盖成本大于相邻面值比例时，即
时，需插入相邻面值构成的开区间
之间的某个金额作为新增面值优化原硬币系统。若优化后导致相邻面值比例不达标，即小于 2 了，需整体重构层级。
● 余数覆盖成本，是指位于相邻硬币面值 与
之间的金额
，通过更小面值硬币覆盖该金额所需的最小硬币数量
。余数覆盖成本是判断贪心算法有效性的关键指标，需通过层级比例约束与动态调整机制控制其阈值。满足条件的硬币系统（如人民币硬币系统）可高效使用贪心算法，否则需依赖动态规划。
● 相邻面值比例优先级，高于余数覆盖成本。即典范硬币系统，必须先满足相邻面值比例 ≥2 的约束条件。
【实例分析】
给定一个硬币系统 {1,5,11}，判断其是否为典范硬币系统。
首先，其各相邻面值比例均大于等于 2（5/1=5≥2，11/5=2.2≥2），符合要求。
其次，分析其各余数覆盖成本，列表如下。
| 硬币系统 {1,5,11}区间 | 余数覆盖成本 | 相邻面值比例 | |
| 相邻面值 1 元和 5 元 构成的开区间（1,5） | f(2)=2（2枚1元） | 5/1=5 | 2≤5？（√） |
| f(3)=3（3枚1元） | 5/1=5 | 2≤5？（√） | |
| f(4)=4（4枚1元） | 5/1=5 | 2≤5？（√） | |
| 相邻面值 5 元和 11 元 构成的开区间（5,11） | f(6)=2（1枚5元，1枚1元） | 11/5=2.2 | 2≤2.2？（√） |
| f(7)=3（1枚5元，2枚1元） | 11/5=2.2 | 3≤2.2？（错误） | |
| f(8)=4（1枚5元，3枚1元） | 11/5=2.2 | 4≤2.2？（错误） | |
| f(9)=5（1枚5元，4枚1元） | 11/5=2.2 | 5≤2.2？（错误） | |
| f(10)=2（2枚5元） | 11/5=2.2 | 2≤2.2？（√） |
据表可知，此硬币系统 {1,5,11} 不满足典范硬币系统，故其不能通过利用贪心法求得最优解，只能采用动态规划求最优解。