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wzjs 2025/9/5 10:37:59

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最近在做博弈题单，遇到了这两个nim问题。

[SDOI2019] 移动金币被成为阶梯nim，也就是一个 $n$ 堆石子在不同的阶梯上面，每次操作可以选择一堆中若干个石子合并到低一级的阶梯（如果移动到地面就不能再移动），不能操作者失败。

这个问题我大概思考了一天就解决了，容易发现n=2时必败态为第一级阶梯为0，因为这样先手移动任何石子下来后手都能移到地面。把n拓展到更大，就会发现偶数级阶梯（现在假设地面为第0级阶梯）的石子时没有意义的，因为如果把偶数的石子移到奇数的石子能形成更好的局面，那么后手就能把这些石子再往移动一级，可以依次从第二级，第四级往下递推思考。

也就是说只用考虑奇数级阶梯的石子，又因为把石子移到偶数级的阶梯以后没有意义，那么就变成了在偶数级阶梯进行经典的nim操作，因此必败态就是所有偶数级阶梯的异或和。

[SDOI2019] 移动金币被称为k-nim也就是每次可以取不超过k堆的石子。我花了大概一周才解决，感觉非常让人抓狂，最后是在操场上散步突然想到结论的。这个结论现在还没有想好怎么证明，后续补上。

感觉这个问题打表比较困难，不过我想了一种直接打出必败态的方法。

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;const int V = 8, N = 1e6 + 10;int n, m;
int a[15];
int cnt, b[N][15], f[N], g[N];int calc(int p1, int p2) {int ret = 0;for (int i = 1, j = 1; i <= n; i++) {while (j <= n && b[p1][i] > b[p2][j]) j++;if (j <= n && b[p1][i] == b[p2][j]) {ret++; j++;}}return n - ret;
}void dfs(int k, int last) {if (k == n + 1) {cnt++;g[cnt] = 0;for (int i = 1; i <= n; i++) {b[cnt][i] = a[i];g[cnt] ^= a[i];}f[cnt] = 2;for (int i = 1; i < cnt; i++) {if (f[i] == 1) continue;bool ok = 1;for (int j = 1; j <= n; j++) {if (b[i][j] > b[cnt][j]) {ok = 0; break;}}if (ok && calc(i, cnt) <= m) {f[cnt] = 1; break;}}if (f[cnt] == 1) {cnt--;}return;}for (int i = last; i <= V; i++) {a[k] = i;dfs(k + 1, i);}
}int main() {// freopen("out.out", "w", stdout);ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(nullptr);cin >> n >> m;dfs(1, 0);for (int i = 1; i <= cnt; i++) {bool bk = 1;for (int ki = 10; ki >= 0; ki--) {int ret = 0;for (int j = 1; j <= n; j++) {if (b[i][j] >> ki & 1) {ret++;}}if (ret % (m + 1) != 0) {cout << "wa\n";}}if (f[i] == 2) {cout << f[i] << " " << g[i] << " : ";for (int j = 1; j <= n; j++) {cout << b[i][j] << " \n"[j == n];}}}cout << cnt << endl;
}