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动态规划解最小花费爬楼梯问题：LeetCode 746. 使用最小花费爬楼梯

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1. 题目链接

LeetCode 746. 使用最小花费爬楼梯
题目要求：给定一个整数数组 cost，其中 cost[i] 是从楼梯第 i 阶向上爬所需支付的费用。你可以从下标 0 或 1 的台阶开始爬，每次爬1或2阶，计算达到楼梯顶部（数组末尾之后）的最小花费。

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2. 题目描述

• 输入：整数数组 cost，例如 [10, 15, 20]。
• 输出：最小花费，例如 15（从下标1开始，直接走两步到达顶部）。
• 约束条件：
  • 2 ≤ cost.length ≤ 1000
  • 0 ≤ cost[i] ≤ 999

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3. 示例分析

示例 1：
输入：cost = [10, 15, 20]
输出：15
解释：

• 从下标1开始，支付15，走两步直接到达顶部，总花费为15。

示例 2：
输入：cost = [1, 100, 1, 1, 1, 100, 1, 1, 100, 1]
输出：6
解释：

• 路径为 0→2→4→6→7→9→顶部，总花费为 1+1+1+1+1+1=6。

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4. 算法思路

动态规划递推

1. 状态定义：

   • dp[i] 表示到达第 i 阶的最小累计花费。
   • 注意：顶部位于第 n 阶（n = cost.size()），因此需要计算 dp[n]。

2. 状态转移方程：

   • 到达第 i 阶的最小花费由前两阶的花费决定：
     dp[i] = min(dp[i-1] + cost[i-1], dp[i-2] + cost[i-2])
   • 解释：可以从第 i-1 阶走1步，或从第 i-2 阶走2步到达第 i 阶。

3. 初始条件：

   • dp[0] = 0（从起点开始，无需站在下标0的台阶）。
   • dp[1] = 0（从起点开始，直接选择下标1的台阶，无需支付下标1的费用）。

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5. 边界条件与注意事项

1. 边界处理：

   • 当 cost 数组长度为 1 时，直接返回 0（无需支付任何费用即可到达顶部）。
   • 当长度为 2 时，返回 min(cost[0], cost[1])。

2. 时间复杂度：O(n)，只需遍历一次数组。

3. 空间优化：可进一步优化为滚动变量，将空间复杂度从 O(n) 降至 O(1)。

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6. 代码实现与解析

class Solution {
public:int minCostClimbingStairs(vector<int>& cost) {int n = cost.size();if (n == 0) return 0;    // 处理空数组（题目约束n≥2，实际无需）if (n == 1) return 0;     // 关键修正：避免越界vector<int> dp(n + 1, 0); // dp[i]表示到达第i阶的最小花费for (int i = 2; i <= n; i++) {dp[i] = min(dp[i-1] + cost[i-1], dp[i-2] + cost[i-2]);}return dp[n];}
};

代码解析

1. 初始化处理：
   • 直接处理 n=0 和 n=1 的情况，避免越界错误。
2. 动态规划数组：
   • dp[0] 和 dp[1] 初始化为 0，因为从起点可以选择直接站在下标0或1的位置。
3. 递推计算：
   • 从 i=2 开始，计算到达每阶的最小花费，确保每次取最小值。
4. 返回值：
   • dp[n] 表示到达顶部（第 n 阶之后）的最小花费。

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总结

通过动态规划递推能够高效解决最小花费爬楼梯问题。关键点在于正确处理边界条件（如 n=1）和状态转移逻辑。此方法可扩展至类似路径选择问题，如带权重的跳跃游戏等。