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题目描述
有 n 个位置，编号从 1 到 n，初始所有位置的值为 0 。
需要实现以下两种操作，共调用 m 次：
- 操作 ( 1 l r v ) ：将区间 [l, r] 内的每个数增加 v。
- 操作 ( 2 l r ) ：返回区间 [l, r] 的累加和。
输入约束
1 ≤ n ≤ 1 0 9 1 \leq n \leq 10^9 1≤n≤109
1 ≤ m ≤ 1 0 3 1 \leq m \leq 10^3 1≤m≤103
测试链接
https://www.luogu.com.cn/problem/P2781
提示：
- 该题可以帮助学习开点线段树。
- 核心思想是仅在必要时申请空间，避免浪费存储资源。
题解：动态开点线段树
一、题目分析
该题属于 数据结构——动态开点线段树 的应用，涉及 区间修改（加法）与区间求和。
由于 ( n ) 的范围高达 ( 10^9 )，无法使用传统数组存储，需要采用动态开点线段树来解决。
二、解题思路
由于 ( n ) 过大，无法直接建立一个大小为 ( n ) 的数组，因此使用 动态开点线段树，即仅在需要时才创建节点，减少空间浪费。
-
线段树核心操作
add(l, r, v)：将区间 ([l, r]) 内的所有数增加 ( v )。querySum(l, r)：查询区间 ([l, r]) 的累加和。
-
关键技巧
- 动态开点：只在访问到某个区间时才创建子节点，避免对所有 ( n ) 个位置预分配存储。
- 延迟标记（懒惰更新）：
- 对某个区间进行加法操作时，不直接递归更新所有子节点，而是打上标记，等到查询或细分区间时再下传标记，减少操作次数，提高效率。
三、代码实现
#include <bits/stdc++.h>#define ll long long
using namespace std;// 预估节点数：操作次数 * 树高 * 2（控制空间开销）
const int N = 8E4 + 10; int cur = 1; // 当前使用的节点索引
struct Node {int left, right; // 左右子节点索引int add; // 延迟标记（懒惰标记）ll sum; // 区间和
} tree[N];// **延迟更新（lazy propagation）**
void lazyAdd(int p, int l, int r, int v) {tree[p].sum += 1LL * v * (r - l + 1); // 更新区间总和（避免溢出）tree[p].add += v; // 记录懒惰标记
}// **上推更新**（合并子区间信息）
void pushup(int p) {int lp = tree[p].left, rp = tree[p].right;tree[p].sum = tree[lp].sum + tree[rp].sum;
}// **下推懒惰标记**
void pushdown(int p, int l, int r) {if (tree[p].add) { // 只有当 add 不为 0 时才需要下推int mid = (l + r) >> 1;if (tree[p].left == 0) tree[p].left = ++cur;lazyAdd(tree[p].left, l, mid, tree[p].add);if (tree[p].right == 0) tree[p].right = ++cur;lazyAdd(tree[p].right, mid + 1, r, tree[p].add);tree[p].add = 0; // 清除当前节点的懒惰标记}
}// **区间加法（更新）**
void add(int p, int l, int r, int jobl, int jobr, int v) {if (jobl <= l && r <= jobr) { // 完全覆盖，直接更新lazyAdd(p, l, r, v);} else { pushdown(p, l, r); // 先下推懒惰标记int mid = (l + r) >> 1;// 左子区间if (jobl <= mid) {if (tree[p].left == 0) tree[p].left = ++cur;add(tree[p].left, l, mid, jobl, jobr, v);}// 右子区间if (mid < jobr) {if (tree[p].right == 0) tree[p].right = ++cur;add(tree[p].right, mid + 1, r, jobl, jobr, v);}pushup(p); // 更新父节点值}
}// **区间查询（求和）**
ll querySum(int p, int l, int r, int jobl, int jobr) {if (jobl <= l && r <= jobr) { // 完全覆盖，直接返回return tree[p].sum;} else {pushdown(p, l, r); // 先下推懒惰标记int mid = (l + r) >> 1;ll sum = 0;if (jobl <= mid && tree[p].left != 0) { sum += querySum(tree[p].left, l, mid, jobl, jobr);}if (mid < jobr && tree[p].right != 0) { sum += querySum(tree[p].right, mid + 1, r, jobl, jobr);}return sum;}
}int main() {int n, m;cin >> n >> m;for (int i = 0, op, l, r, k; i < m; i++) {cin >> op >> l >> r;if (op == 1) { // 区间增加cin >> k;add(1, 1, n, l, r, k);} else { // 区间求和cout << querySum(1, 1, n, l, r) << endl;}}return 0;
}
四、时间 & 空间复杂度分析
时间复杂度
-
add(l, r, v)（区间更新）：- 最坏情况下，树高为 ( O(log n) )。
- 由于动态开点，仅访问实际需要的节点，因此时间复杂度接近 ( O(log n) )。
-
querySum(l, r)（区间查询）：- 同样最多访问 ( O(log n) ) 个节点。
- 时间复杂度 ( O(log n) )。
-
整体复杂度：
- 单次操作：( O(log n) )
- 总共 ( m ) 次操作：( O(m log n) )
空间复杂度
- 数组方式：如果直接用数组存储，需要 ( O(n) ) 的空间，但 ( n ) 过大无法接受。
- 动态开点方式：
- 仅在需要时申请空间。
- 最坏情况：如果操作覆盖整个 ( n )，最多会创建 ( O(m log n) ) 个节点。
- 实际情况：一般远小于 ( n )。
- 空间复杂度：( O(m log n) )
五、总结
-
为什么需要动态开点？
- ( n ) 太大，无法直接用数组存储数据。
- 通过按需分配节点，减少空间浪费。
-
如何优化区间更新？
- 懒惰标记（Lazy Propagation） 避免不必要的递归更新，提高效率。
-
适用场景
- 适用于 稀疏修改，即数据范围大但实际操作区域较少的情况。
- 适用于 区间修改 & 区间查询 结合的问题。
本题重点在于 动态开点线段树 + 懒惰标记优化，是处理超大范围数据的关键技巧！