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由数据范围反推目标算法

在C++中，代码操作次数控制在 $10^7\sim 10^8$ 为最佳。以下是根据题意中不同数据范围下的时间复杂度与算法选择：

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1. $n<30$

• 时间复杂度：指数级别（$O(2^n)$, $O(n!)$ 等）
• 推荐算法：
  • DFS + 剪枝
  • 状态压缩DP

2. $n\le 100$

• 时间复杂度：$O(n^3)$
• 推荐算法：
  • Floyd算法（最短路）
  • 动态规划（DP）
  • 高斯消元

3. $n\le 1000$

• 时间复杂度：$O(n^2\log n)$
• 推荐算法：
  • 动态规划（DP）
  • 二分查找
  • 朴素Dijkstra、朴素Prim、Bellman-Ford

4. $n\le 10000$

• 时间复杂度：$O(n\sqrt{n})$
• 推荐算法：
  • 块状链表
  • 分块处理
  • 莫队算法

5. $n\le 10^5$

• 时间复杂度：$O(n\log n)$
• 推荐算法：
  • 排序算法（sort）
  • 线段树、树状数组
  • 堆（priority_queue）、拓扑排序
  • Dijkstra + 堆优化、Prim + 堆优化、Kruskal
  • SPFA、凸包计算、半平面交
  • 二分、CDQ分治、整体二分、后缀数组、树链剖分、动态树

6. $n\le 10^6$

• 时间复杂度：$O(n)$ 或 低常数 $O(n\log n)$
• 推荐算法：
  • 单调队列、哈希表、双指针扫描
  • BFS、并查集、KMP、AC自动机
  • 低复杂度算法：快速排序、树状数组、堆优化Dijkstra、SPFA

7. $n\le 10^7$

• 时间复杂度：$O(n)$
• 推荐算法：
  • 双指针扫描
  • KMP、AC自动机
  • 线性筛素数

8. $n\le 10^9$

• 时间复杂度：$O(\sqrt{n})$
• 推荐算法：
  • 质数判定

9. $n\le 10^{18}$

• 时间复杂度：$O(\log n)$
• 推荐算法：
  • 最大公约数（GCD）
  • 快速幂
  • 数位DP

10. $n\le 10^{1000}$

• 时间复杂度：$O((\log n{)}^2)$
• 推荐算法：
  • 高精度运算（加减乘除）

11. $n\le 10^{100000}$

• 时间复杂度：$O(\log k\cdot \log \log k)$（$k$ 为位数）
• 推荐算法：
  • 高精度加减法
  • 快速傅里叶变换（FFT）/ 数论变换（NTT）

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总结：

• 小规模数据优先考虑暴力或指数级优化（如剪枝）。
• 中等规模需平衡时间与代码复杂度（如 $O(n^2\log n)$）。
• 大规模数据必须选择线性或对数复杂度算法（如双指针、并查集）。
• 超大规模需数学优化或特殊数据结构（如FFT、数位DP）。