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本文涉及的基础知识点

C++二分查找

[COCI 2023/2024 #3] Milano C.le

题目背景

译自 COCI 2023/2024 Contest #3 T3「Milano C.le」

题目描述

Silvia 目前在米兰中央车站，她注意到车站有很多站台。她觉得站台数量太多了，所以她打算统计有多少真正需要的站台。

Silvia 同样注意到这个车站的一个有趣的事实：出发和到达时刻表每两天就会重复一次，并且时刻表满足所有 $n$ 列火车在一天到达车站，并且在另一天离开。注意按这种方式，没有火车会在所有火车都到达之前离开。

车站的站台足够长，可以满足所有 $n$ 列火车都能在同一站台停成一列。然而，如果火车 $x$ 先进入站台，然后 $y$ 进入同一站台，则火车 $x$ 不可以在火车 $y$ 离开站台之前离开。

Silvia 想知道在不存在由于排在某列火车前面的火车还没离开导致这列火车无法离开的情况下，最少需要多少站台可以使所有火车都停下。

输入格式

第一行一个整数 $n(1\le n\le 2\cdot 10^5)$，表示火车的数量。

第二行包含 $n$ 个整数 $a_i(1\le a_i\le n,\forall i\ne j,a_i\ne a_j)$，表示第 $i$ 列火车在第一天第 $a_i$ 个到达车站。序列 $(a_i)$ 是一个排列。

第三行包含 $n$ 个整数 $b_i(1\le b_i\le n,\forall i\ne j,b_i\ne b_j)$，表示第 $i$ 列火车在第二天第 $b_i$ 个离开车站。序列 $(b_i)$ 是一个排列。

输出格式

输出一行一个整数，表示最少需要多少个站台。

样例 #1

样例输入 #1

5
3 5 2 4 1
3 2 5 1 4

样例输出 #1

2

样例 #2

样例输入 #2

5
3 1 2 5 4
4 2 3 1 5

样例输出 #2

4

样例 #3

样例输入 #3

3
3 2 1
1 2 3

样例输出 #3

1

提示

样例解释 2

上图展示了一个样例二中站台上可能的列车调度情况。列车上 $(i:a_i/b_i)$ 的标签表示第 $i$ 列火车在第一天第 $a_i$ 个到达车站，然后在第二天第 $b_i$ 个离开车站。火车 $(2:1/2)$ 不能比火车 $(4:5/1)$ 更早离开车站。

样例解释 3

所有火车均可在同一站台排成一列，没有任何问题。

子任务

子任务	附加限制	分值
$1$	$n\le 10$	$21$
$2$	最小所需站台数要么是 $1$，要么是 $2$	$18$
$3$	$n\le 1000$	$31$
$4$	无附加限制	$40$

二分查找

一个站台的车，按进入时间升序，按离开时间降序。我们按进入时间处理各车辆。
各战台只需要记录最早离开时间。如果当前车 早于某站台，则可以加入本站台；否则不能。
如果有多个站台可以加入，加入最早离开时间最小的。
二分查找类型：寻找首端。
参数范围：[1,n]，一定与解。

代码

核心代码

#include <iostream>
#include <sstream>
#include <vector>
#include<map>
#include<unordered_map>
#include<set>
#include<unordered_set>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<functional>
#include<queue>
#include <stack>
#include<iomanip>
#include<numeric>
#include <math.h>
#include <climits>
#include<assert.h>
#include<cstring>#include <bitset>
using namespace std;template<class T = int>
vector<T> Read(int n,const char* pFormat = "%d") {vector<T> ret(n);for(int i=0;i<n;i++) {scanf(pFormat, &ret[i]);	}return ret;
}template<class T = int>
vector<T> Read( const char* pFormat = "%d") {int n;scanf("%d", &n);vector<T> ret;T d;while (n--) {scanf(pFormat, &d);ret.emplace_back(d);}return ret;
}string ReadChar(int n) {string str;char ch;while (n--) {do{scanf("%c", &ch);} while (('\n' == ch));str += ch;}return str;
}
template<class T1,class T2>
void ReadTo(pair<T1, T2>& pr) {cin >> pr.first >> pr.second;
}template<class INDEX_TYPE>
class CBinarySearch
{
public:CBinarySearch(INDEX_TYPE iMinIndex, INDEX_TYPE iMaxIndex) :m_iMin(iMinIndex), m_iMax(iMaxIndex) {}template<class _Pr>INDEX_TYPE FindFrist(_Pr pr){auto left = m_iMin - 1;auto rightInclue = m_iMax;while (rightInclue - left > 1){const auto mid = left + (rightInclue - left) / 2;if (pr(mid)){rightInclue = mid;}else{left = mid;}}return rightInclue;}template<class _Pr>INDEX_TYPE FindEnd(_Pr pr){INDEX_TYPE leftInclude = m_iMin;INDEX_TYPE right = m_iMax + 1;while (right - leftInclude > 1){const auto mid = leftInclude + (right - leftInclude) / 2;if (pr(mid)){leftInclude = mid;}else{right = mid;}}return leftInclude;}
protected:const INDEX_TYPE m_iMin, m_iMax;
};class Solution {public:int Ans(vector<int>&a,vector<int>& b) {const int N = a.size();vector<pair<int, int>> ab;for (int i = 0; i < N; i++) {ab.emplace_back(a[i], b[i]);}sort(ab.begin(), ab.end());auto Check = [&](int mid) {multiset<int> s;for (const auto& [tmp, ib] : ab) {auto it = s.upper_bound(ib);if (s.end() == it) {if (s.size() < mid) { s.emplace(ib); continue; }return false; }s.erase(it);s.emplace(ib);}return true;};return CBinarySearch<int>(1,N).FindFrist(Check);}};int main() {
#ifdef _DEBUGfreopen("a.in", "r", stdin);
#endif // DEBUGint n;cin >> n;auto a = Read<int>(n);auto b = Read<int>(n);auto res = Solution().Ans(a,b);
#ifdef _DEBUG			//Out(a, "a=");//Out(b, ",b=");	
//		printf("n=%d", n);
#endif		cout << res << std::endl;		return 0;
}

单元测试

vector<int> a,b;TEST_METHOD(TestMethod11){a = { 1,2 }, b = { 2,1 };auto res = Solution().Ans(a,b);AssertEx(1, res);}TEST_METHOD(TestMethod12){vector<int> a = { 1,2,3 }, b = { 1,2,3 };auto res = Solution().Ans(a, b);AssertEx(3, res);}TEST_METHOD(TestMethod13){a = { 3,5,2,4,1 }, b = { 3,2,5,1,4 };auto res = Solution().Ans(a, b);AssertEx(2, res);}TEST_METHOD(TestMethod14){a = { 3,1,2,5,4 }, b = { 4,2,3,1,5 }	;auto res = Solution().Ans(a, b);AssertEx(4, res);}

小幅优化

用向量代替多键集合。
v升序，如果v[i]是第一个大于ib，说明 v[i…]都大于ib,v[0…i-1]都小于等于ib。v[i] =ib后仍然是升序。

class Solution {public:int Ans(vector<int>&a,vector<int>& b) {const int N = a.size();vector<pair<int, int>> ab;for (int i = 0; i < N; i++) {ab.emplace_back(a[i], b[i]);}sort(ab.begin(), ab.end());auto Check = [&](int mid) {vector<int> v(mid, INT_MAX);for (const auto& [tmp, ib] : ab) {auto it = upper_bound(v.begin(),v.end(),ib);if (v.end() == it) {return false; }*it = ib;}return true;};return CBinarySearch<int>(1,N).FindFrist(Check);}};

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测试环境

操作系统：win7 开发环境： VS2019 C++17
或者 操作系统：win10 开发环境： VS2022 C++17
如无特殊说明，本算法用**C++**实现。