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目录

🔥 差分核心价值

🌟 一维差分模板

1. 核心思想

2. 代码实现

3. 动态图示

📦 二维差分模板

1. 核心公式

2. 代码实现

3. 二维修改示意图

🚨 六大避坑指南

💡 复杂度对比

🌈 LeetCode实战

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🔥 差分核心价值

暴力法的痛点：

// 区间[l,r]增加val，时间复杂度O(n)  
for(int i=l; i<=r; i++) arr[i] += val; 

差分优势：将区间修改复杂度从 O(n) 降为 O(1)，批量操作性能飙升！

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🌟 一维差分模板

1. 核心思想

• 差分数组：diff[i] = arr[i] - arr[i-1]

• 区间修改：diff[l] += val，diff[r+1] -= val

• 还原数组：前缀和计算

2. 代码实现

vector<int> arr = {3,1,4,2,5};  
int n = arr.size();  // 构建差分数组  
vector<int> diff(n+2, 0); // 多开空间防越界  
for(int i=1; i<=n; i++){  diff[i] = arr[i-1] - (i==1 ? 0 : arr[i-2]);  
}  // 区间[2,4]（索引1~3）加10  
int l=2, r=4, val=10;  
diff[l] += val;  
diff[r+1] -= val;  // 还原数组  
vector<int> new_arr(n);  
new_arr[0] = diff[1];  
for(int i=1; i<n; i++){  new_arr[i] = new_arr[i-1] + diff[i+1];  
}  
// 结果：3,11,14,12,5  

3. 动态图示

原数组：  3   1   4   2   5  
差分数组：3  -2   3  -2   3  操作：区间[2-4]加10  
差分变化：  
diff[2] +=10 → -2+10=8  
diff[5] -=10 → 3-10=-7  新差分数组：3  8   3  -2  -7  
还原后数组：  
3 → 3+8=11 → 11+3=14 → 14-2=12 → 12-7=5  

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📦 二维差分模板

1. 核心公式

给子矩阵(x1,y1)-(x2,y2)加val：  
diff[x1][y1] += val  
diff[x1][y2+1] -= val  
diff[x2+1][y1] -= val  
diff[x2+1][y2+1] += val  

2. 代码实现

vector<vector<int>> matrix = {{1,2,3}, {4,5,6}, {7,8,9}};  
int m = matrix.size(), n = matrix[0].size();  // 初始化二维差分  
vector<vector<int>> diff(m+2, vector<int>(n+2, 0));  
for(int i=1; i<=m; i++){  for(int j=1; j<=n; j++){  diff[i][j] += matrix[i-1][j-1];  diff[i][j+1] -= matrix[i-1][j-1];  }  
}  // 子矩阵(1,1)-(2,2)加5（原矩阵行0-1，列0-1）  
int x1=1, y1=1, x2=2, y2=2, val=5;  
diff[x1][y1] += val;  
diff[x1][y2+1] -= val;  
diff[x2+1][y1] -= val;  
diff[x2+1][y2+1] += val;  // 还原矩阵  
vector<vector<int>> res(m, vector<int>(n));  
for(int i=0; i<m; i++){  int row_sum = 0;  for(int j=0; j<n; j++){  row_sum += diff[i+1][j+1];  res[i][j] = row_sum;  }  
}  
// 结果：  
// 6  7  3  
// 9 10 6  
// 7  8 9  

3. 二维修改示意图

原矩阵：  
1 2 3  
4 5 6  
7 8 9  差分影响范围：  
+5          -5  ↓           ↓  
(1,1)     (1,3)  5  -5  -5  5  最终矩阵：  
(1+5)=6  (2+5)=7 3  
(4+5)=9 (5+5+5)=15 6  
7        8       9  

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🚨 六大避坑指南

1. 索引偏移陷阱：原数组从0开始，差分数组从1开始

2. 越界防护：差分数组多开两格空间

3. 还原顺序：二维需先计算行前缀和，再列方向累积

4. 负数处理：差分数组允许负数存在

5. 多操作叠加：支持连续多次修改后统一还原

6. 初始值处理：原数组全0时差分数组也全0

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💡 复杂度对比

操作	暴力法	差分法
区间修改	O(n)	O(1)
单次查询	O(1)	O(n)
初始化	O(1)	O(n)
适合场景	查多改少	改多查少

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🌈 LeetCode实战

1. 1109. 航班预订统计（一维差分模板题）

2. 1094. 拼车（差分+上下车模型）

3. 798. 得分最高的最小轮调（差分+区间覆盖）

4. 2132. 用邮票贴满网格（二维差分经典）