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一.【模板】一维前缀和（easy）
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解法：
暴力会超时
解法（前缀和）：
算法思路：
- 先预处理出来⼀个「前缀和」数组：⽤ dp[i] 表示： [1, i] 区间内所有元素的和，那么 dp[i - 1] ⾥⾯存的就是 [1,i - 1] 区间内所有元素的和，那么：可得递推公式： dp[i] = dp[i - 1] + arr[i] ；
- 使用前缀和数组，「快速」求出「某⼀个区间内」所有元素的和：当询问的区间是 [l, r] 时：区间内所有元素的和为： dp[r] - dp[l - 1] 。
代码：
C++:
java:
二：【模板】二维前缀和（medium）
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解法：
类比于⼀维数组的形式，如果我们能处理出来从 [0, 0] 位置到 [i, j] 位置这片区域内所有元素的累加和，就可以在 O(1) 的时间内，搞定矩阵内任意区域内所有元素的累加和。因此我们接下来仅需完成两步即可：
- 第一步：搞出来前缀和矩阵
这⾥就要用到⼀维数组里面的拓展知识，我们要在矩阵的最上面和最左边添加上⼀行和⼀列 0，这样我们就可以省去非常多的边界条件的处理（尝试直接搞出来前缀和矩阵，边界条件的处理可能会崩溃的）。处理后的矩阵就像这样：
这样，我们填写前缀和矩阵数组的时候，下标直接从 1 开始，能⼤胆使⽤ i - 1 , j - 1 位置的值。
注意 dp 表与原数组 matrix 内的元素的映射关系：
i. 从 dp 表到 matrix 矩阵，横纵坐标减⼀；
ii. 从 matrix 矩阵到 dp 表，横纵坐标加⼀。
前缀和矩阵中 sum[i][j] 的含义，以及如何递推⼆维前缀和方程
a. sum[i][j] 的含义：
sum[i][j] 表示 ，从 [0, 0] 位置到 [i, j] 位置这段区域内，所有元素的累加和。对应下图的红色区域：
a. 递推方程：
其实这个递推方程非常常像我们小学做过求图形⾯积的题，我们可以将 [0, 0] 位置到 [i, j] 位置这段区域分解成下面的部分：
sum[i][j] = 红 + 蓝 + 绿 + ⻩，分析⼀下这四块区域：
- 黄色部分最简单，它就是数组中的 matr[i - 1][j - 1] （注意坐标的映射关系）
- 单独的蓝不好求，因为它不是我们定义的状态表⽰中的区域，同理，单独的绿也是；
- 但是如果是红 + 蓝，正好是我们 dp 数组中 sum[i - 1][j] 的值，美滋滋；
- 同理，如果是红 + 绿，正好是我们 dp 数组中 sum[i][j - 1] 的值；
- 如果把上⾯求的三个值加起来，那就是⻩ + 红 + 蓝 + 红 + 绿，发现多算了⼀部分红的⾯积，因此再单独减去红的面积积即可；
- 红的⾯积正好也是符合 dp 数组的定义的，即 sum[i - 1][j - 1]
综上所述，我们的递推⽅程就是：
sum[i][j]=sum[i - 1][j] + sum[i][j - 1] - sum[i - 1][j - 1]+matrix[i - 1][j - 1]
- 第二步：使用前缀和矩阵
题目的接口中提供的参数是原始矩阵的下标，为了避免下标映射错误，这⾥直接先把下标映射成 dp 表里面对应的下标： row1++, col1++, row2++, col2++
接下来分析如何使⽤这个前缀和矩阵，如下图（注意这⾥的 row 和 col 都处理过了，对应的正是 sum 矩阵中的下标）： 
对于左上角 (row1, col1) 、右下⻆ (row2, col2) 围成的区域，正好是红色的部分。因
此我们要求的就是红色部分的面积，继续分析几个区域：
- 黄色，能直接求出来，就是 sum[row1 - 1, col1 - 1] （为什么减⼀？因为要剔除掉 row 这⼀⾏和 col 这⼀列）
- 绿⾊，直接求不好求，但是和黄色拼起来，正好是 sum 表内 sum[row1 - 1][col2]的数据；
- 同理，蓝色不好求，但是 蓝 + ⻩ = sum[row2][col1 - 1] ；
- 再看看整个面积，好求嘛？非常绿 - 蓝，但是绿蓝不好求，我们可以这样减：整个⾯积 -（绿 + ⻩ ）-（蓝 + ⻩），这样相当于多减去了⼀个黄，再加上即可
综上所述：红 = 整个面积 - （绿 + ⻩）- （蓝 + ⻩）+ ⻩，从而可得红色区域内的元素总和为：
sum[row2][col2]-sum[row2][col1 - 1]-sum[row1 - 1][col2]+sum[row1 - 1][col1 - 1]
代码：
C++:
java:
三：寻找数组的中心下标（easy）
题目链接：724. 寻找数组的中心下标 - 力扣（LeetCode）
解法：
从中心下标的定义可知，除中⼼下标的元素外，该元素左边的「前缀和」等于该元素右边的「后缀
和」。
- 因此，我们可以先预处理出来两个数组，⼀个表示前缀和，另⼀个表表示后缀和。 （其实某个位置的后缀和就是总数减去前缀和）
- 然后，我们可以用⼀个 for 循环枚举可能的中心下标，判断每⼀个位置的「前缀和」以及「后缀和」，如果⼆者相等，就返回当前下标。
代码：
C++:
java:
四：除自身以外数组的乘积（medium）
题目链接：238. 除自身以外数组的乘积 - 力扣（LeetCode）
解法：
注意题目的要求，不能使⽤除法，并且要在 O(N) 的时间复杂度内完成该题。那么我们就不能使用暴力的解法，以及求出整个数组的乘积，然后除以单个元素的方法。
继续分析，根据题意，对于每⼀个位置的最终结果 ret[i] ，它是由两部分组成的：
- nums[0] * nums[1] * nums[2] * ... * nums[i - 1]
- nums[i + 1] * nums[i + 2] * ... * nums[n - 1]
于是，我们可以利用前缀和的思想，使⽤两个数组 fs和 bs，分别处理出来两个信息：
- fs表示：i 位置之前的所有元素，即 [0, i - 1] 区间内所有元素的前缀乘积，
- bs 表示： i 位置之后的所有元素，即 [i + 1, n - 1] 区间内所有元素的后缀乘积
然后再处理最终结果。
代码：
C++：
java：