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5.1 图的定义和基本术语

5.1.1 图的定义

图 G由两个集合V和E组成，记为$G=(V,E)$，其中V是有顶点的有穷非空集合，E是V中顶点偶对的有穷集合，这些顶点偶对称为边。

对于图G，若边集$E(G)$为有向边的集合，则称该图为有向图；若边集$E(G)$为无向边的集合，则称该图为无向图。

有向图中，顶点对$<x,y>$是有序的，它与$<y,x>$是不同的两条边；在无向图中，$(x,y)$与$(y,x)$是同一条边。为了有别于有向图，无向图的顶点用一对括号括起来。

5.1.2 图的基本术语

用n表示图中的顶点数目，用e表示边的数目。

子图：假设有两个图$G=(V,E)和G^{\prime }=(V^{\prime },E^{\prime }),如果$$V^{\prime }\in V且E^{\prime }\in E$，则称$G^{\prime }$为$G$的子图。

无向完全图和有向完全图：对于无向图，若具有$n(n-1)/2$条边，则称为无向完全图。对于有向图。若具有$n(n-1)$条弧，则称为有向完全图。

稀疏图和稠密图：有多少条边或弧(如$e<nlo{g}_{2}n$)的图称为稀疏图，反之称为稠密图。

权和网：在实际应用中，每条边可以标上具有某种意义的数值，该数值称为该边上的权。这些权可以表示从一个顶点到另一个顶点的距离或耗费。这种带权的图通常称为网。

邻接点：对于无向图G，如果图的边$(v,v^{\prime })\in E$，则称顶点v和v‘为邻接点，即v和v’相邻接。边$(v,v^{\prime })$依附于点v和v‘，或者说边边$(v,v^{\prime })$与顶点v和v’相关联。

度、入度和出度：顶点v的度是指和v相关联的边的数目，记为$TD(v)$。入度是以顶点v为头的弧的数目，记为$ID(v)$；出度是以顶点v为尾的弧的数目，记为$OD(v)$。且$TD(v)=ID(v)+OD(v)$。

回路或环：第一个顶点和最后一个顶点相同的路径称为回路或环

简单路径、简短回路或简单环：序列中顶点不重复出现的路径称为简单路径。除了第一个顶点和最后一个顶点之外，其余顶点不重复出现的回路，称为简短回路或简单环。

连通、连通图和连通分量：无向图中，若从点v到点v’有路径，则称v和v’是连通的。若对图中任意两个顶点$v_i、v_j\in E$，$v_i、v_j$都是连通的，则G是连通图。连通分量则是指无向图中的极大连通子图。

强连通图和强连通分量：在有向图G中，如果对于每一对$v_i、v_j\in V，v_i!=v_j$，从$v_i$到$v_j$和$v_j$到$v_i$都存在路径，则称G是强连通图。有向图中的极大强连通子图称作有向图的强连通分量。

连通图的生成树：一个极小连通子图，它含有图中全部顶点，但只有足以构成一棵树的$n-1$条边，这样的连通子图称为连通图的生成树。
一棵有n个顶点的生成树有且仅有$n-1$条边。如果一个图有n个顶点和小于$n-1$条边，则是非连通图。如果它多于$n-1$条边，则一定有环。但是，有$n-1$条边的图不一定是生成树。

有向树和生成森林：有一个顶点的入度为0，其余顶点的入度均为1 的有向图称为有向树。一个有向图的生成森林是由若干棵有向树组成，含有图中全部顶点，但只有足以构成若干棵不相交的有向树的弧。

5.2图的存储结构

5.2.1邻接矩阵

设$G(V,E)$是具有n个顶点的图，则G的邻接矩阵是具有如下性质的n阶方阵：
$$A[i][j]=\{\begin{array}{c}1若<v_i,v_j>或(v_i,v_j)\in E\\ 0反之\end{array}$$

若G是网（带权值），则邻接矩阵可以定义为：
$$A[i][j]=\{\begin{array}{c}{w}_{i,j}若<v_i,v_j>或(v_i,v_j)\in E\\ \infty 反之\end{array}$$

#define MaxInt 32767
#define MVNum 100 using namespace std;typedef char VerTexType;
typedef int ArcType;
typedef struct{VerTexType vexs[MVNum]; //顶点表ArcType arcs[MVNum][MVNum];int vexnum, arcnum; //图的当前点数和边数 
}AMGraphe;

采用邻接矩阵表示法创建无向网

#include <iostream>
#include <vector>
#include <cstring>#define MaxInt 32767
#define MVNum 100 using namespace std;typedef char VerTexType;
typedef int ArcType;
typedef struct{VerTexType vexs[MVNum]; //顶点表ArcType arcs[MVNum][MVNum];int vexnum, arcnum; //图的当前点数和边数 
}AMGraphe;int LocateVex(AMGraphe G, VerTexType v) {for (int i = 0; i < G.vexnum; i++) {if (G.vexs[i] == v) { // 找到匹配的顶点return i;}}return -1; // 未找到返回 -1
}int CreatUDN(AMGraphe &G){cin >> G.vexnum >> G.arcnum; //输入顶点数和边数for(int i = 0; i < G.vexnum; i ++) cin >> G.vexs[i];for(int i = 0; i < G.vexnum; i ++){ //初始化 for(int j = 0; j < G.vexnum; j ++){G.arcs[i][j] = MaxInt;}} for(int k = 0; k < G.arcnum; k ++){int v1, v2, w;cin >> v1 >> v2 >> w;int i = LocateVex(G, v1), j = LocateVex(G, v2);//确定v1和v2在G中的位置，即顶点数组的下标 G.arcs[i][j] = w;G.arcs[j][i] = G.arcs[i][j];} return 1;}int main() {return 0;
}

优点：

1.查询高效
判断两点是否相邻的时间复杂度为 O(1)，直接访问 G.arcs[i][j] 即可。
2.适用于稠密图
若图的边数接近顶点数的平方，邻接矩阵能高效存储和查询边信息。
3.便于矩阵运算
适合用矩阵运算（如图的幂运算）来分析路径问题，例如 Floyd 算法求最短路径。
4.易于实现
结构简单，代码实现直观，初始化和操作都比较容易。

缺点：

1.空间消耗大
需要 O(V2) 的存储空间，即使边数很少（稀疏图），仍要存储所有可能的边信息，浪费空间。
2.插入和删除边的效率低
插入边效率高（O(1)），但删除边可能涉及到维护整个矩阵，在某些情况下效率不如邻接表。
3.不适合稀疏图
当边数远小于 V2时，邻接矩阵会有大量的无效存储（0 或 MaxInt）。
4.不易遍历所有邻接点
查找某个顶点的所有邻接点需要遍历整行，时间复杂度 O(V)，而邻接表可以直接访问邻接链表，效率更高。

邻接表

邻接表 是图的一种链式存储结构。在邻接表中，对图的每个顶点$v_i$建立一个单链表，把与$v_i$相邻接的顶点放在这个链表中。可以把这一节点看出链表的表头，其余结点存放有关边的信息，这样邻接表便由两部分组成：表头结点表和边表。