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背包问题

01背包、完全背包、多重背包主要区别在于物品数量：01背包每个物品只有一个，完全背包物品有无限个，多重背包每个物品数量不同。

dp[i][j]表示编号[0,i]的物品任取放入容量为j的背包后，背包里物品的最大价值。

01背包问题 二维

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;int bag(vector<int>& space, vector<int>& value, int m, int n){// dp[i][j]表示在[0,i]物品任选，装入容量为j的背包的最大价值vector<vector<int>> dp(m, vector<int>(n+1));for(int j=space[0];j<=n;j++){dp[0][j] = value[0];// 初始化将物品0装入背包}for(int i=1;i<m;i++){for(int j=0;j<=n;j++){if(j<space[i]){// 容量不够装入第i个物品dp[i][j] = dp[i-1][j];}else{// 装入i vs 不装入idp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-space[i]]+value[i]);}}}return dp[m-1][n];
}int main(){int m, n;cin>>m>>n;vector<int> space(m);vector<int> value(m);for(int i = 0;i<m;i++){cin>>space[i];}for(int i = 0;i<m;i++){cin>>value[i];}int res;res = bag(space, value, m, n);cout<< res <<endl;return 0;
}

①dp[i][j]表示在[0,i]物品中任选，装入容量为j的背包中获得的最大价值。

②对于每次选择只会存在两种结果：一是选择将物品i放入背包，二是将物品i不放入背包。放不放物品是根据价值来判断，因此，递推公式：dp[i][j]=max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-space[i]]+value[i]),其中dp[i-1][j]表示不放入物品i，dp[i-1][j-space[i]]+value[i]表示放入物品i，j-space[j]表示腾出放入i的空间。

③初始化仅放入物品0的情况，只要容量大于物品0需要的空间，就选择放入物品0。

④遍历顺序从物品0遍历到物品m-1，背包容量从0到n。

01背包问题 一维

int bag(vector<int>& space, vector<int>& value, int m, int n){// dp[j]表示装入容量为j的背包的最大价值vector<int> dp(n+1);for(int i=0;i<m;i++){for(int j=n;j>=space[i];j--){// 装入i vs 不装入idp[j] = max(dp[j], dp[j-space[i]]+value[i]);}}return dp[n];
}

一维背包主要是在之前二维背包的基础上，将二维dp数组压缩成一维dp数组，在二维dp数组的递推公式中，dp[i][j]里，i都依赖与i-1的值，因此可以将i-1的值都拷贝到i，以此压缩数组。基本思路如下：

①dp[j]表示容量为j的背包可装的最大价值。

②与二维类似，存在两种选择，放入物品和不放入物品。不放入物品的最大价值是：dp[j]，不放入物品：dp[j-space[i]]+value[i]。

③初始化：背包容量为0的时候，dp[0]=0。

④遍历顺序需要从后往前遍历。假设背包容量5，物品3种，space=[1,3,4]，value=[15,20,30]。对于物品0，如果正序遍历：

dp[1] = dp[1 - weight[0]] + value[0] = dp[0] + 15 = 15

dp[2] = dp[2 - weight[0]] + value[0] = dp[1] + 15 = 30

此时dp[2]就已经是30了，意味着物品0，被放入了两次，所以不能正序遍历。如果倒序遍历：

dp[2] = dp[2 - weight[0]] + value[0] = dp[1] + 15

dp[1] = dp[1 - weight[0]] + value[0] = dp[0] + 15

所以从后往前循环，每次取得状态不会和之前取得状态重合，这样每种物品就只取一次了。

416. 分割等和子集（中等）

class Solution {
public:bool canPartition(vector<int>& nums) {int sum = 0;for (int num : nums) {sum += num;}if (sum % 2) {return false;}// 相当于背包容量为sum/2vector<int> dp(sum / 2 + 1);for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {for (int j = sum / 2; j >= nums[i]; j--) {dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]);}}if (dp[sum / 2] == sum / 2)return true;elsereturn false;}
};

本题难度中等。本题为01背包的应用，将数组分为两个相等的子集，先计算sum，可以看作背包容量为sum/2，需要使用nums的数字装满背包，且数字的价值和重量相同。最后判断一下容量为sum/2所装最大价值是不是sum/2。