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首先,把目光聚集在234树中

以下是234的三种节点(可以有更多这里使用以下的三个):

右侧是节点转换成红黑树节点的样子。

接下来会用以下序列进行1234树的搭建和红黑树的搭建:

首先是234树

2-3-4树(234树)是一种多路搜索树,它的每个节点最多可以有 4 个子节点和 3 个键值。以下是 2-3-4 树的搭建过程:

  1. 创建根节点: 最开始,2-3-4 树为空树。创建一个空的根节点,此时根节点没有键值和子节点。这是整棵树的起始点。

  2. 插入第一个键值: 向空树中插入第一个键值。将这个键值放入根节点中,此时根节点就变成了一个包含一个键值的节点,并且该节点没有子节点,因为这是树中唯一的元素。

  3. 继续插入键值

    • 插入到 2-节点(包含 1 个键值的节点):如果要插入的节点是一个 2-节点(只有一个键值且有两个子节点位置,当前为空),将新键值插入到该节点中。插入后,该节点会根据键值大小调整键值的顺序(小的在左,大的在右),同时该节点变为一个 3-节点(包含 2 个键值)。

    • 插入到 3-节点(包含 2 个键值的节点):当要插入到一个 3-节点时,因为 3-节点已经有 2 个键值,再插入一个新键值后,该节点会有 3 个键值。此时需要进行节点分裂操作。将 3 个键值中中间大小的键值提升到父节点(如果没有父节点,则创建一个新的根节点),较小的键值和较大的键值分别形成两个新的子节点。这样就将一个 3-节点分裂成了一个 2-节点(包含较小键值)、一个 2-节点(包含较大键值)以及父节点中提升的键值,从而保持了树的结构特性。

    • 插入到 4-节点(包含 3 个键值的节点):当插入到 4-节点(已经有 3 个键值)时,同样需要进行分裂。将 4 个键值(包括新插入的键值)中中间的键值提升到父节点,较小的两个键值形成一个新的子节点,较大的两个键值形成另一个新的子节点。这就将一个 4-节点分裂成了两个 2-节点(分别包含较小和较大的两个键值)以及父节点中提升的键值。

  4. 处理根节点分裂: 如果在插入过程中,根节点发生分裂(例如插入到根节点的 4-节点中),那么需要创建一个新的根节点,将中间的键值提升到这个新的根节点,原来根节点分裂出的子节点作为新根节点的子节点。这样树的高度就会增加 1。

  5. 重复插入操作: 不断重复上述插入和节点分裂的过程,直到所有需要插入的键值都插入到树中。在整个过程中,2-3-4 树始终保持其特性,即所有叶子节点都在同一层,并且每个节点的键值和子节点数量都符合 2-3-4 树的规则。

通过以上步骤,就可以逐步搭建起一棵 2-3-4 树,实现数据的有效存储和组织,以便后续进行查找、删除等操作。

在我们获得的234基础上按照咱们之前的这个图来进行构建:

呈现结果:

我们得到的红黑树有以下的几个特征:

红黑树是一种自平衡的二叉搜索树,具有以下几大特征:

  1. 节点颜色:每个节点要么是红色,要么是黑色。

  2. 根节点:根节点是黑色的。

  3. 叶子节点:所有叶子节点(NIL节点,即空节点)都是黑色的。

  4. 红色节点的子节点:如果一个节点是红色的,那么它的两个子节点都是黑色的,也就是说,不能有两个连续的红色节点。

  5. 路径上的黑色节点数量:从任意一个节点到其叶子节点的所有路径上,包含相同数量的黑色节点,这也被称为黑高(black - height)属性。

这些特征保证了红黑树在进行插入、删除和查找等操作时,能够保持较好的平衡性和时间复杂度。平均情况下,红黑树的查找、插入和删除操作的时间复杂度都是$O(log n)$,其中$n$是树中节点的数量。

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