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D. Ball Sorting

题目：

思路：

思路想到了LIS，但是不知道怎么dp

我们先假设没有 k 的限制，即有无限个 0，那么此时的最优解是什么呢？

显然就是 n - len，其中 len 为LIS的长度，为什么呢？（以下的LIS代表递增子序列）

因为由于每次操作我们都可以将数插到任意位置，那么显然我们每一个数最多只需要移动一次即可到正确位置，那么如果有 k 这个限制呢？

首先从上面的结论我们可以知道，如果答案是 n - len，那么 0 的数量就得是 LIS 中间的断开区间的个数，什么意思呢？

我们举个例子，假设数组是 2 3 1 4 6 5，那么LIS就是 2 3 4 6 或 2 3 4 5，那么我们要将 1 5 放到正确位置的话就要 2 个 0（最少操作步数），如果只有 1 个 0 我们怎么分配呢？

 

我这里举例两种方式，一个是将整个区间重新排，一个是将 1 4 6 5 重新排（即绿色括号内的数）

那么答案就是绿色括号内区间的长度，这里的绿色括号就是 0 ，因为 0 可以排好任意一个区间内的所有数，所以我们显然是框选的数越少越好，那么做法就初见雏形

我们可以枚举每一个 k，即 0 的个数，然后考虑dp，那么如何dp呢？

我们可以定义 dp[i][j] 为有 i 个 0 时，LIS在 j 结尾时的最少操作数，那么如何转移呢？

首先一个显然的转移就是 dp[i][j] = dp[i-1][j]，即直接从上一层转移过来

那么考虑另一个特殊情况，如果 a[i] > a[i-1] 那么 a[i] 就可以直接接在前面的 LIS 后面，且不会增加奉献，那么就有 dp[i][j] = min(dp[i][j],dp[i][j-1])

然后考虑暴力，由于我们不知道当前这个 j 当作哪个 LIS 的后面一个数奉献最少，所以直接暴力枚举前面每一种可能，我们从 0 ~ j - 1暴力寻找，如果有 a[j] > a[k] 说明我们的 j 可以当作 k 位置结尾的LIS的后一个数，如 2 3 后面可以接上 4，那么考虑奉献

如果我们选择接上去了，那么中间的数肯定都要被操作掉，如 2 3 (1) 4 ，其奉献就是 1，即LIS中间的数的个数，表示出来就是 j - k - 1，转移方程就是 dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i-1][k] + j - k - 1)

总结做法：考虑如何让操作最小，我们肯定是选择不需要动的数越多越好，那么就考虑LIS，对于一个LIS，由于 0 可以操作任意长度的区间，那我们考虑将 0 插入 LIS 的断开位置，那么奉献就是LIS所有断开区间的长度，显然可以考虑 dp 做法，因为我们不知道选哪个 LIS 最好

代码：

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include<cstring>
#include<cctype>
#include<string>
#include <set>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <unordered_set>
#include <map>
#include <unordered_map>
#include <stack>
#include <memory>
using namespace std;
#define int long long
#define yes cout << "Yes\n"
#define no cout << "No\n"void solve()
{int n;cin >> n;vector<int> a(n+2);a[0] = 0, a[n + 1] = n + 1;for (int i = 1; i <= n; i++){cin >> a[i];}vector<vector<int>> dp(n + 1, vector<int>(n + 2, 1e18));//初始化一下 i = 0 时的情况，即看看不能跳时的最长LISdp[0][0] = 0;for (int i = 1; i <= n+1; i++){if (a[i] > a[i - 1])dp[0][i] = dp[0][i - 1];else break;}//枚举有 i 个 0 且LIS结尾在第 j 个数的最少操作数 for (int i = 1; i <= n; i++){for (int j = 1; j <= n+1; j++){//可以从上一个 i 转移过来dp[i][j] = dp[i - 1][j];//如果当前数可以直接连接前一个 LISif (a[j] > a[j-1]){//那就取 mindp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][j - 1]);}//枚举可以从哪个点拼接过来for (int k = 0; k < j; k++){//如果可以拼接，那么合并完后区间内的数就都要被操作if (a[j] > a[k]){//跳跃的奉献就是区间内的数的个数，即 j - k - 1，然后取mindp[i][j] = min(dp[i - 1][k] + j - k - 1, dp[i][j]);}}}cout << dp[i][n + 1] << " ";}cout << endl;
}signed main()
{cin.tie(0)->sync_with_stdio(false);int t = 1;cin >> t;while (t--){solve();}return 0;
}