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62. 不同路径
基础记忆化搜索写法请参考之前的文章，链接如下
多维动态规划题解——不同路径【LeetCode】记忆化搜索-CSDN博客
基础递推写法实现
此处是基于之前的记忆化搜索写法进行对应翻译得到的
class Solution:def uniquePaths(self, m: int, n: int) -> int:f = [[0] * (n + 1) for _ in range(m + 1)]f[0][1] = 1for i in range(m):for j in range(n):f[i + 1][j + 1] = f[i][j + 1] + f[i + 1][j]return f[m][n]空间优化
一、算法逻辑（逐步思路）
❓ 题目简介
- 给定一个大小为
m x n的网格（左上角为起点，右下角为终点），机器人每次只能向右或向下移动一步，问：从左上角走到右下角，有多少条不同的路径？
✅ 思路解析（DP + 空间优化）
1. 定义状态：
- 使用一维数组
f[j]表示当前行中，到达第j列所需要的路径数量； - 为什么一维就够？因为第
i行的路径数只依赖于上一行和当前行左侧的位置。
2. 初始化：
f = [0] * (n + 1)
f[1] = 1f[1] = 1表示第一行第一列的路径数量为 1；- 注意，这里将索引偏移一位（
f[1]对应网格中第 0 列），是为了简化边界处理（避免 j-1 越界）。
3. 状态转移：
for _ in range(m):for j in range(n):f[j + 1] += f[j]- 外层循环跑
m行； - 内层循环中，
f[j+1] += f[j]意思是：从左边j位置可以走到j+1位置； - 相当于：
-
f[j+1] = 上一轮的 f[j+1]（来自上方） + 当前轮的 f[j]（来自左边）
4. 返回结果：
f[n]就是最终到达右下角所需的路径数。
二、算法核心点
✅ 核心思想：二维路径 DP 的一维数组压缩版
- 将
dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]压缩为一维数组； - 每次只保留一行数据，在原数组上进行就地更新；
- 本质是从左到右不断累加路径数。
三、复杂度分析
- 时间复杂度：O(m × n)
-
- 遍历每个格子一次，共 m 行 n 列。
- 空间复杂度：O(n)
-
- 使用一维数组保存状态。
总结表：
| 维度 | 内容 |
| ✅ 思路逻辑 | 一维数组压缩的 DP，每个位置累加来自左侧和上方的路径数 |
| ✅ 核心技巧 | 滚动数组优化空间；偏移 1 位避免边界判断；内层循环从左到右确保顺序正确 |
| ✅ 时间复杂度 | O(m × n) |
| ✅ 空间复杂度 | O(n) |
🔍 补充说明（偏移技巧）：
- 为什么用
f[1] = 1而不是f[0] = 1？
-
- 因为循环中我们用的是
f[j+1]和f[j]，偏移一位可避免对边界做特殊处理； - 这样初始化只需设定一个值，逻辑更简洁。
- 因为循环中我们用的是