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铁轨 Rails

题目链接

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题目描述

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输入格式

输出格式

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题目翻译：

某城市有一个火车站，铁轨铺设如图。有n节车厢从A方向驶入车站，按进站的顺序编号为1～n。你的任务是判断是否能让他们按照某种特定的顺序进入B方向的铁轨并驶出车站。例如，出栈顺序（5 4 1 2 3）是不可能的，但（5 4 3 2 1）是可能的。 为了重组车厢，你可以借助中转站C。这是一个可以停放任意多节车厢的车站，但由于末端封顶，驶入C的车厢必须按照相反的顺序驶出C。对于每节车厢，一旦从A移入C，就不能返回A了;一旦从C移入B，就不能返回C了。也就是说，在任意时刻，只有两种选择：A到C和C到B。

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输入格式

输入包含若干组测试数据，每组形式如下：

n
a₁ a₂ a₃ ... aₙ
a₁' a₂' a₃' ... aₙ'
...
0

• 第一行是整数 $n$，表示火车车厢数；
• 接下来若干行，每行是一个长度为 $n$ 的排列，表示一个目标出站序列；
• 每组以 0 行结束；
• 整个输入以单独一个 0 结束。

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输出格式

• 对每个出站序列，如果可以实现，输出 Yes，否则输出 No；
• 每组输出之间用一个空行隔开。

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输入输出样例 #1

输入 #1

5
1 2 3 4 5
5 4 1 2 3
0
6
6 5 4 3 2 1
0
0

输出 #1

Yes
NoYes

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题解（模拟出栈入栈过程）

一、问题建模

初始状态

我们可以将问题抽象为一个入栈 + 出栈的过程：

• 有一个初始顺序为 $[1,2,\dots ,n]$ 的入栈序列；
• 每次可以将当前入栈元素压入栈中；
• 栈顶元素可以随时出栈，进入出站序列。

我们的目标是判断是否能通过这一过程，恰好以题目给出的顺序完成出站。

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操作允许的内容

1. 按顺序把 $1$ 到 $n$ 的数一个一个“尝试”压入栈中；
2. 如果栈顶的元素等于目标出栈序列的当前元素，就弹出；
3. 否则继续压栈；
4. 如果最终能按顺序完整地弹出所有目标元素，则输出 Yes，否则 No。

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二、模拟分析如下：

示例目标序列：5 4 1 2 3

原始入栈顺序：1 2 3 4 5

过程模拟：

操作	栈中内容	当前出栈指针
push(1)	1	5
push(2)	1 2	5
push(3)	1 2 3	5
push(4)	1 2 3 4	5
push(5)	1 2 3 4 5	5
pop()	1 2 3 4	4
pop()	1 2 3	1
❌ 栈顶为 3，目标是 1，失败

因此输出 No

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三、完整代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;int main()
{while (true) // 外层循环：处理多个测试组，每组以一个 n 开头{int n;cin >> n;if (n == 0) break; // n=0 表示程序结束while (true) // 内层循环：处理每组 n 的多个目标排列序列{vector<int> nums(n + 1); // 存放目标排列，使用 1 开始的下标方便阅读cin >> nums[1];          // 读取排列第一个数字if (nums[1] == 0){// 若首元素为 0，说明当前 n 的测试组结束，输出一个空行cout << endl;break;}// 读取剩余 n-1 个元素for (int i = 2; i <= n; i++){cin >> nums[i];}
//~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
//以下为核心代码：stack<int> stk; // 栈模拟中转站int j = 1;       // j 表示从原始序列 1~n 中当前准备入栈的数字bool ok = true;  // 标记是否可以成功地构造目标排列// 遍历目标排列 nums[1...n]for (int i = 1; i <= n; i++){// 尝试将原始序列的元素压入栈，直到栈顶元素等于当前目标元素 nums[i]while (j <= n && (stk.empty() || stk.top() != nums[i])){stk.push(j); // 将原始序列的下一个数字压入栈j++;         // 指向下一个准备压栈的数字// j <= n 是必要的边界判断，避免访问原始序列中不存在的数字// 一旦 j > n，就表示所有元素都已经入栈完毕，不能再继续压栈}// 如果当前栈顶元素就是我们想要的目标元素if (stk.top() == nums[i]){stk.pop(); // 出栈表示火车离站，构造成功一位}else{// 若不能通过出栈构造当前目标元素，说明顺序不可能实现ok = false;break;}}// 输出当前目标排列是否可达cout << (ok ? "Yes" : "No") << endl;
//~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~}}return 0;
}

四、复杂度分析

• 每次最多会执行 $2n$ 次操作（入栈 + 出栈）；
• 一组最多有 $n$ 个排列，总体复杂度约为 $O(n^2)$；
• 在 $n\le 1000$ 范围内是完全可以接受的。

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五、总结

• 本题本质是一个栈排序可达性判断问题；
• 关键点在于模拟真实的入栈 + 出栈过程；

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