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2.3 机器学习类型

回归问题，分类问题（人脸识别问题，垃圾邮件检测等等），图像聚类（无监督学习），强化学习（AlphaGo）通过与环境进行交互学习。

下面是集中常见的机器学习类型：

监督学习的典型问题是回归和分类问题，

无监督学习的典例问题是聚类，降维，密度估计

2.4 机器学习要素

①数据：可以通过给出的数据分出不同的机器学习类型，数据非常关键，从数据中抽取特征，这是特征抽取问题，或者我们自动抽取特征，就是一个表示学习。

②模型

③学习准则

④优化算法

但是我们常说的是后面三个要素

2.4.1 模型：（得到 x 到 y的映射关系）

以回归为例：①简单的线性模型：

我们人工定义一个模型函数为：，表示要学习的参数，是参数的总称，具体的可以有权重系数w，和偏置 b。

②非线性模型：

此时，我们定义一个函数为：，只需在原来的线性模型进行修改，把原来线性里面的x套一个函数，我们称这个函数为基函数，通常是非线性的，即把x做一次非线性变换。

如果是一个可学习的非线性基函数，那么这个模型就相当于是神经网络。

2.4.2 学习准则：

一个好的模型应该在所有取值上都与真实映射函数一致

 模型的预测与真实函数一致，是如何衡量的——使用损失函数

①损失函数：

是一个非负实数函数，用来量化模型预测和真实标签之间的差异。

以回归问题为例：

平方损失函数：，假设f(x..)这部分是模型预测，y是真实标签。

当模型预测和真实值之间的差值越小，损失函数的结果就越小，表示损失越小。我们希望找到一个

参数，使得损失最小。该损失函数是定义在一个具体的x 和 y上面的。

②期望风险：

模型的学习准则定义为（理想）：损失函数在真实的数据分布中的期望最小化。找到参数，使得期望风险最小化。但是由于真实数据分布的不确定性，使得期望风险不能直接计算。

大数定律（Law of Large Numbers, LLN）是概率论的核心定理之一，它描述了在重复独立试验中，随机事件的频率会随着试验次数的增加而稳定趋近于其理论概率。通俗地说，当实验次数足够多时，“偶然性”会被“规律性”覆盖。

所以既然真实数据分布不知道，就可以采集样本，这些样本就构成一个训练集，以此得到真实学习准则（损失函数）。

期望风险可以近似为：（通过大数定律近似）

①训练数据：

②经验风险：。当N趋向于无穷大时，经验风险就逼近与期望风险。

那么，我们的学习准则就变为了经验风险最小化：

①寻找一个参数，使得经验风险最小化。.这个问题为优化问题。

所以当风险函数确定后，机器学习问题转化为一个最优化问题。

2.4.3 最优化问题

①方法1：使用凸优化问题中的一阶导为0；

②方法2：大众化方法。使用梯度下降法。

，我们也称搜索步长为超参数，指的是需要人为选择的，而不是学习得来的。

a) 随机梯度下降法：

在每次迭代时只采集一个样本,需要进行更新

当经过足够的迭代次数时，随机梯度下降也可以收敛到局部最优解。但是因为每次都是采集一个样本，所以无法充分利用计算机的并行计算能力，折中方法就是 小批量随机梯度下降法。

b) 小批量随机梯度下降法：

随机选取一小部分训练样本去计算梯度并更新参数；既可以兼顾随机梯度下降法的优点，又可以提高训练效率。

2.5 泛化与正则化

欠拟合：按照线性模型来讲，拟合出的线时一条直线，与真实情况的差异很大。模型能力不足，使得错误率很高，这种情况为欠拟合。

过拟合：使用更加复杂的模型去拟合，虽然在训练集上的错误率很低，几乎为0，但是拟合出的线不是我们所期望的，在未知数据上的错误率很高。往往是由于训练数据少，或者模型复杂度高。

泛化误差：

是期望风险和经验风险之间的差。

当期望风险很大，但是经验风险底时，两者差值大，出现过拟合。

如何减少泛化误差？

优化——经验风险最小，会找到很复杂的模型，但是会造成过拟合；

正则化——降低模型复杂度，减少泛化误差。

正则化：

所有损害优化的方法都是正则化。

提前停止：

使用一个验证集，测试每一次迭代的参数在验证集上是否时最优。

如果在验证集上的错误率不再下降，就停止迭代。

2.6 线性回归

回归定义：

1）模型

在上面的模型中，参数b是可以消掉的。引入两个新变量去解释。

增广权重向量：

增广特征向量：

变化之后，两者都为D+1维向量，则原来的模型就变为：

.就可以直接写成不含b的模型。

2）回归问题在训练集D上的经验风险：

损失函数用的是平方损失函数。

那么经验风险有了之后，就开始令经验风险最小化。

经验风险最小化：

，解出其中的w即可。

矩阵微积分：

标量关于向量的偏导数：一个标量关于向量的偏导数还是向量。都是列向量

向量关于向量的偏导数：一个向量关于另一个向量的偏导数是一个矩阵

向量函数及其导数：

结构风险：后面的新加项就是正则化项，用来约束w，前面的系数越大对w的约束越大，前面系数是超参数

令其最小化：

岭回归。

下面引自知乎的文章，更近一步的理解线性回归。

回归的目的：通过找到的线来预测未来。

回归之所以能预测，是因为它的底层逻辑是：通过历史数据，摸透了“套路”，然后通过这个套路来预测未来的结果。

注意：在回归中，我们要预测的target是连续型数据(降雨量,房价,长度,密度这些)

2.7 多项式回归

跟上面的线性回归中的非线性模型一样。

2.8 线性回归的概率视角

2.9 模型选择和 “偏差-方差”分解