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两圆 ${\omega }_1$, ${\omega }_2$ 相交于 $A$, $B$ 两点, 过点 $B$ 的直线与圆 ${\omega }_1$, ${\omega }_2$ 的另一交点分别为 $K$, $M$. 直线 $PQ$ 与圆 ${\omega }_1$ 相切于点 $Q$ 且平行于 $AM$, 直线 $PR$ 与圆 ${\omega }_2$ 相切于点 $R$ 且平行于 $AK$. 点 $Q$, $R$ 位于直线 $KM$ 的不同侧. 证明: (1) 点 $A$ 在直线 $QR$ 上; (2) 点 $P$ 在直线 $KM$ 上. (《高中数学联赛模拟试题精选》第13套)

证明: (1)

延长 $QA$ 交 ${\omega }_2$ 于点 $R^{\prime }$, 只需证明: $R^{\prime }$ 处的切线平行于 $AK$. 由此便知

由弦切角定理, 这只需证明 $\angle KA{R}^{\prime }=\angle AB{R}^{\prime }$.

显然 $\angle MB{R}^{\prime }=\angle MA{R}^{\prime }=\angle AQP=\angle QBA=\angle QKA$.

$\angle AB{R}^{\prime }=\angle ABM+\angle R^{\prime }BM=\angle ABM+\angle QBA=\angle QBM$.

$\angle KA{R}^{\prime }=\angle KAB+\angle BA{R}^{\prime }=\angle KQB+\angle QKB=\angle QBM=\angle AB{R}^{\prime }$.

所以 $R^{\prime }$ 处的切线平行于 $AK$.

(2)

$\angle QPR=\pi -\angle QRP-\angle RQP=\pi -\angle ABR-\angle QBA=\pi -\angle QBR$, 所以 $Q$, $P$, $R$, $B$ 四点共圆, 进而 $\angle BPR=\angle AQB=\angle AKB$.

设 $BM$ 交 $RP$ 于 $P^{\prime }$, 则由 $AK//PR$ 可知 $\angle B{P}^{\prime }R=\angle AKB=\angle BPR$.

显然 $P^{\prime }$ 即为 $P$, 进而 $P$ 在直线 $KM$ 上.

证毕.