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题意

给定一个无向连通图，edges={u,v,w} 表示$u$和$v$之间有一条无向边，边权为$w$
$n$个点 $[1,n]$ 每个点到$n$的最短路为$dis[i]$
定义受限路径: 从起点$1$到$n$，路径上的$dis[i]$递减
求1->n的受限路径方案数

方法一 Dijkstra+记忆化搜索

思路

通过Dijkstra预处理出每个点距离$n$的最短路
通过dfs枚举每种方案 加上记忆化 避免超时

Code

using ll = long long;
#define pii pair<int,int>
#define ar2 array<ll,2>
void cmax(int &a,int b){a=max(a,b);};
void cmin(int &a,int b){a=min(a,b);};
const int N=1e5+10,MOD=1e9+7,INF=0x3f3f3f3f;const long long LINF=LLONG_MAX;const double eps=1e-6;
int a[N];
class Solution {
public:int countRestrictedPaths(int n, vector<vector<int>>& edges) {vector<vector<ar2>>g(n+1);for(auto e:edges){int u=e[0],v=e[1],w=e[2];g[u].push_back({w,v});g[v].push_back({w,u});}vector<ll>dis(n+1,LINF);//注意要用LINF，INF太小了dis[n]=0;priority_queue<pii,vector<pii>,greater<>>pq;pq.emplace(0,n);while(pq.size()){auto [d,i]=pq.top();pq.pop();if(d>dis[i]) continue;for(auto [w,j]:g[i]){if(dis[j]>d+w){dis[j]=d+w;pq.emplace(dis[j],j);}}}// if(dis[1]==LINF) return 0;for(int i=1;i<=n;i++){if(dis[i]==LINF) dis[i]=-1;}cout<<dis[1]<<endl;vector<ll>memo(n+1,-1);function<ll(int)>dfs=[&](int i)->ll{if(i==n) return 1;if(memo[i]!=-1) return memo[i];int ret=0;for(auto [w,j]:g[i]){if(dis[i]>dis[j]){ret=(ret+dfs(j))%MOD;}}// printf("dfs(%d),retrun %d\n",i,ret%MOD);memo[i]=ret%MOD;return memo[i];};return dfs(1)%MOD;}
};

实现细节

• 注意 Dijkstra要从终点$n$开始扩展最短路，因为$dis[i]$在此题中表示$i$到$n$的距离，跟常见的Dijkstra不同 不是表示$i$到$1$的距离
  记得开longlong，并且无穷大也要用longlong的max来表示，不然有一个样例过不去

方法二 Dijkstra+dp

思路

思路同上，把记忆化搜索改成dp，我感觉没有记忆化搜索直观，但是能快一点点

Code

using ll = long long;
#define pii pair<int,int>
#define ar2 array<ll,2>
#define endl '\n'
void cmax(int &a,int b){a=max(a,b);};
void cmin(int &a,int b){a=min(a,b);};
const int N=1e5+10,MOD=1e9+7,INF=0x3f3f3f3f;const long long LINF=LLONG_MAX;const double eps=1e-6;class Solution {
public:int countRestrictedPaths(int n, vector<vector<int>>& edges) {vector<vector<ar2>>g(n+1);for(auto e:edges){int u=e[0],v=e[1],w=e[2];g[u].push_back({w,v});g[v].push_back({w,u});}vector<ll>dis(n+1,LINF);dis[n]=0;priority_queue<pii,vector<pii>,greater<>>pq;pq.emplace(0,n);while(pq.size()){auto [d,i]=pq.top();pq.pop();if(d>dis[i]) continue;for(auto [w,j]:g[i]){if(dis[j]>d+w){dis[j]=d+w;pq.emplace(dis[j],j);}}}// if(dis[1]==LINF) return 0;for(int i=1;i<=n;i++){if(dis[i]==LINF) dis[i]=-1;}vector<int>idx(n);iota(idx.begin(),idx.end(),1);sort(idx.begin(),idx.end(),[&](int a,int b){return dis[a]<dis[b];});//按最短路从小到大排序vector<ll>dp(n+1);//dp[i]表示从i到n的方案数dp[n]=1;for(int i:idx){for(auto [_,j]:g[i]){if(dis[i]>dis[j]){dp[i]=(dp[i]+dp[j])%MOD;}}}return dp[1];}
};

实现细节

根据最短路从小到大更新dp
因为受限路径要求dp[i]要根据dis小于dis[i]的值更新