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Eigen是一个C++模板库，用于线性代数运算，包括矩阵、向量、数值求解和相关算法。它以其高性能、易用性和丰富的功能而闻名。

安装与配置

Eigen是一个纯头文件库，无需编译，只需包含头文件即可使用。

1. 下载Eigen：从官方网站下载最新版本

2. 解压后将Eigen目录添加到包含路径中

基本用法

包含头文件

cpp

#include <Eigen/Dense>  // 包含核心矩阵和向量操作
using namespace Eigen;   // 使用Eigen命名空间

定义矩阵和向量

cpp

// 固定大小的矩阵和向量
Matrix3d mat3;          // 3x3双精度矩阵
Vector4d vec4;         // 4维双精度向量// 动态大小的矩阵和向量
MatrixXd mat_dyn(10,5); // 10x5双精度矩阵
VectorXd vec_dyn(30);   // 30维双精度向量

初始化矩阵和向量

cpp

// 逗号初始化
Matrix3d m;
m << 1, 2, 3,4, 5, 6,7, 8, 9;Vector3d v;
v << 1, 2, 3;// 随机初始化
MatrixXd rand_mat = MatrixXd::Random(3,3);// 常数矩阵
Matrix3d ones = Matrix3d::Ones();      // 全1矩阵
Matrix3d identity = Matrix3d::Identity(); // 单位矩阵
Matrix3d zero = Matrix3d::Zero();      // 全0矩阵

基本运算

cpp

Matrix3d a, b;// 矩阵加减法
Matrix3d c = a + b;
Matrix3d d = a - b;// 标量乘除法
Matrix3d e = 2.5 * a;
Matrix3d f = a / 2.0;// 矩阵乘法
Matrix3d g = a * b;// 转置
Matrix3d h = a.transpose();// 共轭转置(对复数矩阵)
Matrix3cd i = a.adjoint();// 点积和叉积
Vector3d v1, v2;
double dot_product = v1.dot(v2);
Vector3d cross_product = v1.cross(v2);

访问元素

cpp

MatrixXd m(2,2);
m(0,0) = 3;      // 访问(0,0)元素
double x = m(1,0); // 获取(1,0)元素VectorXd v(2);
v(0) = 4;        // 访问第一个元素
double y = v(1); // 获取第二个元素

矩阵块操作

cpp

MatrixXd m(4,4);// 获取左上角2x2块
MatrixXd block = m.block<2,2>(0,0);// 获取第2列，从第1行开始，取3个元素
VectorXd col_segment = m.col(1).segment(1,3);// 获取前两行
MatrixXd top_rows = m.topRows(2);

线性代数运算

求解线性方程组

cpp

Matrix3d A;
Vector3d b;
Vector3d x = A.colPivHouseholderQr().solve(b); // 使用QR分解求解

特征值和特征向量

cpp

Matrix2d A;
EigenSolver<Matrix2d> solver(A);
auto eigenvalues = solver.eigenvalues();    // 特征值
auto eigenvectors = solver.eigenvectors(); // 特征向量

矩阵分解

cpp

MatrixXd A(3,3);// LU分解
PartialPivLU<MatrixXd> lu(A);// QR分解
HouseholderQR<MatrixXd> qr(A);// Cholesky分解(对正定矩阵)
LLT<MatrixXd> llt(A);

性能优化技巧

1. 启用编译器优化：使用-O2或-O3优化级别

2. 避免动态内存分配：尽可能使用固定大小矩阵

3. 使用.noalias()：当没有混叠时避免临时对象

   cpp

   a.noalias() = b * c; // 避免创建临时矩阵

4. 利用SIMD指令：Eigen会自动使用SIMD指令(如SSE, AVX)

实际应用示例

最小二乘法

cpp

MatrixXd A(100,3); // 设计矩阵
VectorXd b(100);    // 观测值// 求解最小二乘问题 Ax ≈ b
Vector3d x = A.jacobiSvd(ComputeThinU | ComputeThinV).solve(b);

3D变换

cpp

// 3D旋转(角度轴表示)
AngleAxisd rotation(M_PI/4, Vector3d::UnitZ());// 3D平移
Translation3d translation(1,2,3);// 组合变换
Affine3d transform = translation * rotation;// 应用变换到点
Vector3d point(1,0,0);
Vector3d transformed_point = transform * point;