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🧠 思路解析：

1. 图的类型：

• 连通 → 任意两点可达
• 无环 → 没有回路
• 简单 → 没有自环、没有重边
  👉 这就是一棵树（Tree）！

2. 树的边数：

边数 = n - 1

3. 邻接矩阵总元素个数：

n * n = n^2

4. 非零元素个数：

无向图中一条边在邻接矩阵中会对应两个位置（对称），所以：
非零元素 = 2 * (n - 1)

5. 零元素个数：

零元素 = n^2 - 2(n - 1) = n^2 - 2n + 2

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✅ 举例说明（以 (n = 5) 为例）

构造一棵 5 个顶点的树，设边为：

1 - 2
|
3
|
4 - 5

边数 = 4（符合 n - 1）

邻接矩阵如下（对称矩阵，1表示有边）：

    1 2 3 4 5------------
1 | 0 1 1 0 0
2 | 1 0 0 0 0
3 | 1 0 0 1 0
4 | 0 0 1 0 1
5 | 0 0 0 1 0

• 总共元素数：( 5^2 = 25 )
• 边数：4 条 → 非零元素 = (2 * 4 = 8)
• 所以零元素个数 = (25 - 8 = 17)

验证公式：
n^2 - 2(n - 1) = 25 - 8 = 17 ✅

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⚠️ 容易出错的点：

错误思路	为什么错
减去主对角线上的0	主对角线上的0本来就算在零元素内，不需要特判
只计算边数没乘2	邻接矩阵中每条边占两个位置
记成有向图	无向图邻接矩阵是对称的，需要双倍计数

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📚 知识拓展

1. 邻接矩阵 vs 邻接表：

存储结构	空间复杂度	适用场景
邻接矩阵	(O(n^2))	稠密图
邻接表	(O(n + m))	稀疏图（如树）

树是稀疏图，一般用邻接表更节省空间。

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2. 与图的特性相关的公式：

• 有 (n) 个顶点和 (n - 1) 条边且连通 → 一定是树。
• 无环图最多有 (n - 1) 条边。
• 邻接矩阵中非零元素数量 = 边数 × 2（无向图）

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3. 练习题：

题目：一个有 10 个节点的树，其邻接矩阵中零元素个数是多少？

解法：

• 总元素：100
• 边数：9 → 非零元素：18
• 零元素：100 - 18 = 82

✅ 答案：82