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好的，下面我们分别给出：
一、函数 ( 1 + x ) − 1 (1 + x)^{-1} (1+x)−1 的泰勒展开式：
这是标准几何级数的一种：
1 1 + x = 1 − x + x 2 − x 3 + x 4 − ⋯ \frac{1}{1 + x} = 1 - x + x^2 - x^3 + x^4 - \cdots 1+x1=1−x+x2−x3+x4−⋯
二、函数 ( 1 − x ) − 1 (1 - x)^{-1} (1−x)−1 的泰勒展开式：
这是几何级数的最基本形式：
1 1 − x = 1 + x + x 2 + x 3 + x 4 + ⋯ \frac{1}{1 - x} = 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + \cdots 1−x1=1+x+x2+x3+x4+⋯