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空间：组成空间的元素的线性组合都在这个空间中。

1. 矩阵空间

举例：矩阵空间（$M$ 所有3x3的矩阵）
$M_{3\ast 3}$的基
$$\begin{gathered} \left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right] \\ \left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right] \\ \left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 1& 0& 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 1& 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right] \end{gathered}$$
维度为9。

对称矩阵($S$)的基，维度为6
$$\begin{gathered} \left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right] \\ \left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& 0& 0\\ 1& 0& 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 1& 0\end{array}\right] \end{gathered}$$

上三角矩阵($U$)的基，维度为6
$$\begin{gathered} \left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right] \\ \left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right] \end{gathered}$$

交集 和 和集

交集：$S\cap U=对角矩阵，维度是3$
和集：$S+U=M,dim(S+U)=9$

$$dim(S+U)+dim(S\cap U)=dim(S)+dim(U)$$

2. 所有解空间

对于 $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}+t=0,y=\underset{解基}{\underbrace{cosx,sinx}}$
解空间 $y=c_{1}cosx+c_{2}sinx$

3. $r=1$的矩阵

$$\underset{A_{2\ast 3}}{\underbrace{\left[\begin{array}{ccc}1& 4& 5\\ 2& 8& 10\end{array}\right]}}=\left[\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1& 4& 5\end{array}\right]$$
所有$r=1$的矩阵，可以拆成 $A=u{v}^T$

4. 题目

在$R^4$中，$V=\left[\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\\ v_3\\ v_4\end{array}\right]$，$S=所有V在R^4中，满足v_1+v_2+v_3+v_4=0。S能否构成子空间呢？$

能。相当于$AV=0，S=N(A)$
$$\underset{A}{\underbrace{\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\end{array}\right]}}\underset{V}{\underbrace{\left[\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\\ v_3\\ v_4\end{array}\right]}}=0$$
A矩阵的秩为1，$dim(N(A))=n-r=4-1=3$
S的基为（等价于求AV=0的解空间）
$$\left[\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 0\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 1\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 0\\ 1\end{array}\right]$$

5. 小世界图

图的定义 g r a p h = { n o d e s , e d g e s } graph=\{nodes, edges\} graph={nodes,edges}