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优化方法介绍（一）

本博客是一个系列博客，主要是介绍各种优化方法，使用 matlab 实现，包括方法介绍，公式推导和优化过程可视化

1 失败案例介绍

本文在编写最速下降法的时候使用了经典的求解函数框架，并使用了自适应步长(alpha)机制，即加入参数flag，当出现梯度下降的情况(Fnew>F0)时，flag自增一(flag = flag + 1)，当flag大于等于其阈值(fthershold)时，才执行对于步长alpha的改变(alpha = alpha * multiplyer)操作。通过对于初始步长(alpha)、参数flag的阈值(fthershold)和步长改变量(multiplyer)这三个变量的循环寻优。

经过实践发现，这三个参数的最优值分别为

alpha = 1e-3
fthershold = 2
multiplyer = 1.7

最终优化之后的迭代次数(函数Rosenbrock被调用的次数)为17次，未经优化时的次数为26次。初始步长alpha的数值如此小的原因本文进行了探讨，通过对于函数设置断点之后本文发现，在使用梯度函数gradient计算梯度g时，由于极小值eps(或者说sqrt(eps))的数值比较小，为1e-8级，由于数值计算的问题会导致初始点在x1方向上的梯度达到1e3级，故需要alpha的数值取得比较小才能中和这种巨大的梯度，使得alpha*p的值在(0,10)之间。

代码包括
LineSearchFrameWork.m 文件，用于优化的函数

function [F0,x0,FE,xhis] = LineSearchFrameWork()x0 = [2,2]; %Initial searching pointtol = 1e-6; %the tolerance value of resultsFE = 0;     %how many times the Rosenbrock function is runned FEmax = 1e5;%maxium interation timesalpha = 1e-3;  %initial step lengthF0 = Rosenbrock(x0); % initial function valueflag = 0;            % the determination parameterfthers = 2;          % the thershold of the times that gradient goes downxhis = [];xhis = [xhis; x0];while (F0 > tol) && (FE < FEmax)g = gradient(x0, F0);FE = FE + 2;p = -g;xnew = x0 + alpha*p;Fnew = Rosenbrock(xnew);xhis = [xhis; xnew];if Fnew < F0flag = flag + 1;if flag >= fthersalpha = alpha * 1.7;flag = 0;endendx0 = xnew;F0 = Fnew;end
end

Rosenbrock.m 文件，用于 罗森布尔克 函数值的计算的函数

function y = Rosenbrock(x)y = 100*(x(:, 2) - x(:, 1).^2).^2 + (1 - x(:, 1)).^2;
end

gradient.m 文件，计算梯度值的函数

function g = gradient(x, F0)d = sqrt(eps);g = (Rosenbrock(x + ones(1, 2)*d) - F0) / d;

runner.m 文件，主运行文件，用于调用其他的函数

clc; clear all; cleartol = 1e-6;
[F0,x0,FE,xhis] = LineSearchFrameWork();
if F0 < toldisp("成功了！！！！");
elsedisp("lose loser");
end
plot(xhis(:, 1), xhis(:, 2), xhis(:, 1), xhis(:, 2),'*')
title('最速下降法求Rosenbrock函数的局部极小值')
xlabel('x_1'); ylabel('x_2');

运行后的优化结果为

寻优次数	x1 值	x2 值
1	2	2
2	0.798	0.798
3	0.817619	0.817619
4	0.850445	0.850445
5	0.881263	0.881263
6	0.928068	0.928068
7	0.961518	0.961518
8	0.995455	0.995455
9	0.999905	0.999905

MATLAB 运行结果1

下面是对于MATLAB中的函数报告(profile)：

MATLAB 函数报告1

初次实验之后，博主发现本文采用的方法是错误的，它只能适用于像(2,2)到最优点(1,1)这样的寻优过程，因为在本文的方法中直接将寻优过程初始点为(2,2)的Rosenbrock函数当作一个单值函数来处理，使得x1和x2同增同减，但是这种方法的适用范围非常小，只能在寻优初始点处的x1和x2相等时才能采用。

从上方的图表中可以看出，本文初次实现的方法是有很大问题的，因为本文是通过提前知道了寻优的初始点是x1=x2=2的特殊情况，而寻优的理想结果也是同样的x1=x2=1，所以采用了将Rosenbrock函数作为单值函数来进行寻优的方法。这样的方法其实是没有意义的，因为它有两个局限性：1）只适用于Rosenbrock函数；2）只适用于寻优初始点为x1=x2=2的特殊情况。本文研究Rosenbrock函数是为了使得寻优算法更加具有普适性，即对于尽可能多的函数尤其是一些特殊函数，都能够进行寻优的操作，而本文组的这个方法却是背离了这个初衷，只是为了解决问题而解决问题，这样的研究是没有多少价值的，如同鸡肋。

这个方法发现过程是一个巧合，在编写最速下降法的时候，对于梯度计算函数gradient函数，本来应该使用单位矩阵eye(2)的地方，错误地使用成了全1矩阵ones(1, 2)，但是却奇迹般的找到了最优值，在一开始，本文是兴奋的，因为首次实现的结果就如此的成功，但是在后续的检查过程中本文发现，这个方法其实是错误的，本文后续对于这个方法有进行了反思，就有了上面对于这个方法的叙述和讨论。

2 最速下降法求解过程介绍

最速下降法的坐标更新表达式为

<