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LeetCode 热题 100 | 198. 打家劫舍

大家好，今天我们来解决一道经典的动态规划问题——打家劫舍。这道题在 LeetCode 上被标记为中等难度，要求计算在不触动警报装置的情况下，一夜之内能够偷窃到的最高金额。问题的核心在于不能偷窃相邻的房屋，因此需要合理规划偷窃路径。

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问题描述

给定一个非负整数数组 nums，代表每个房屋存放的金额。计算在不触动警报装置的情况下，能够偷窃到的最高金额。

示例 1：

输入：[1,2,3,1]
输出：4
解释：偷窃 1 号房屋 (金额 = 1) 和 3 号房屋 (金额 = 3)。偷窃到的最高金额 = 1 + 3 = 4。

示例 2：

输入：[2,7,9,3,1]
输出：12
解释：偷窃 1 号房屋 (金额 = 2)、3 号房屋 (金额 = 9) 和 5 号房屋 (金额 = 1)。偷窃到的最高金额 = 2 + 9 + 1 = 12。

提示：

• 1 <= nums.length <= 100
• 0 <= nums[i] <= 400

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解题思路

核心思想

1. 动态规划：

   • 使用动态规划（DP）来解决这个问题。
   • 定义 dp[i] 为偷窃到第 i 个房屋时能够获得的最大金额。
   • 状态转移方程为：
     [
     dp[i] = \max(dp[i-1], dp[i-2] + nums[i])
     ]
     其中，dp[i-1] 表示不偷窃第 i 个房屋的最大金额，dp[i-2] + nums[i] 表示偷窃第 i 个房屋的最大金额。

2. 边界条件：

   • 如果只有一个房屋，最大金额为 nums[0]。
   • 如果有两个房屋，最大金额为 max(nums[0], nums[1])。

3. 空间优化：

   • 由于状态转移只依赖于前两个状态，可以使用两个变量代替数组，从而将空间复杂度优化到 O(1)。

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Python代码实现

class Solution:def rob(self, nums):""":type nums: List[int]:rtype: int"""if not nums:return 0if len(nums) == 1:return nums[0]prev1, prev2 = 0, 0for num in nums:temp = max(prev1, prev2 + num)prev2 = prev1prev1 = tempreturn prev1

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代码解析

1. 边界条件处理：

   • 如果数组为空，返回 0。
   • 如果只有一个房屋，返回该房屋的金额。

2. 动态规划状态转移：

   • 使用两个变量 prev1 和 prev2 分别表示当前房屋的前一个状态和前两个状态的最大金额。
   • 遍历数组，根据状态转移方程更新 temp，并逐步更新 prev1 和 prev2。

3. 优化空间复杂度：

   • 通过两个变量代替数组，将空间复杂度从 O(n) 降低到 O(1)。

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复杂度分析

• 时间复杂度：O(n)，其中 n 是数组的长度。只需要遍历一次数组。
• 空间复杂度：O(1)，优化后只使用了常数级别的额外空间。

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示例运行

示例 1

输入：[1,2,3,1]
输出：4
解释：偷窃 1 号房屋 (金额 = 1) 和 3 号房屋 (金额 = 3)。偷窃到的最高金额 = 1 + 3 = 4。

示例 2

输入：[2,7,9,3,1]
输出：12
解释：偷窃 1 号房屋 (金额 = 2)、3 号房屋 (金额 = 9) 和 5 号房屋 (金额 = 1)。偷窃到的最高金额 = 2 + 9 + 1 = 12。

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总结

通过动态规划的方法，我们可以高效地解决打家劫舍问题。状态转移方程清晰易懂，且可以通过优化将空间复杂度降低到 O(1)。希望这篇题解对大家有所帮助，如果有任何问题，欢迎在评论区留言讨论！

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