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2.6. 概率

1）基本概率论

一些概念：

• 抽样（sampling）：从概率分布中抽取样本的过程；

• 分布（distribution）：类似于对事件概率分配；

• 多项分布（multionmial distribution）：将概率分配给一些离散选择的分布。

• 样本空间（sample space）或结果空间（outcome space）：随机实验的所有可能结果构成的集合；

• 结果（outcome）：样本空间或结果空间中的元素；

• 事件（event）：一组给定样本空间的随机结果。

（1）概率论公理

概率定义：概率是事件集合到实数的映射函数，事件 A 在样本空间 S 中的概率记为 P(A)。

三大公理（科尔莫戈罗夫, 1933）：

• 非负性：对任意事件 A，恒有 P(A) >= 0；

• 规范性：整个样本空间概率为 1，即 P(S) = 1

• 可列可加性：对任意可数个互斥事件序列 $A_1,A_2,\dots$（满足 $i\ne j$ 时 $A_i\cap A_j=\varnothing$）：$P\left({\bigcup }_{i=1}^{\infty }{A}_i\right)={\sum }_{i=1}^{\infty }P(A_i)$

（2）随机变量

随机变量定义：随机变量 X 表示随机实验的可能结果（如掷骰子样本空间 S = {1,2,3,4,5,6})，事件（如看到数字5）表示为 {X=5}，其概率记为 P(X=5)。

概率表示简化：

• P(X) 表示 X 的概率分布（所有取值的概率集合）；

• P(a) 是取值 a 的概率的简写形式；

• 范围概率如 P(1 <= X <= 3) 表示 X 取 {1,2,3} 的概率。

离散与连续随机变量：

• 离散（discrete）随机变量：取值可枚举（如骰子点数），可直接计算单点概率（如 P(X=1) > 0）；

• 连续（continuous）随机变量：取值不可枚举（如身高），单点概率恒为0（如 P(身高 = 1.80) = 0) ，需用概率密度描述区间概率（如 P(1.79 <= 身高 <= 1.81) > 0）。

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2）处理多个随机变量

当我们处理多个随机变量时，会有若干个变量是我们感兴趣的。我们可以使用联合分布、条件分布、Bayes定理、边缘化和独立性假设来分析多个随机变量。

（1）联合概率（joint probability）：

• 事件一起发生的概率；

• 表示为 P(A=a, B=b) ：是A=a和B=b同时发生的概率。

（2）条件概率（conditional probability）：

• 在已知一个事件发生的情况下，另一个事件发生的概率；

• 表示为$0\le P(B=b|A=a)=\frac{P(A=a,B=b)}{P(A=a)}\le 1$：是A=a发生的情况下，B=b的概率。

（3）贝叶斯定理（Bayes’ theorem）：

• 由联合概率和条件概率可得，贝叶斯定理为$P(A\mid B)=\frac{P(B\mid A)P(A)}{P(B)}$ ；

• 其中，P(A,B) 是一个联合分布（joint distribution），P(A | B) 是一个条件分布（conditional distribution）。

（4）边际化（marginalization）：

• 边际化：即对进行事件概率求和；

• 公式：$P(B)={\sum }_{A}P(A,B)$；

• 边际化结果的概率或分布称为边际概率（marginal probability） 或边际分布（marginal distribution）

（5）独立性（independence）

• 两个事件的发生无关，表示为 $A\perp B$ ;

• 两个随机变量是独立的，则其联合分布是其各自分布的乘积，即，由 $P(A\mid B)=\frac{P(A,B)}{P(B)}=P(A)等价于P(A,B)=P(A)P(B)$ ;

• 同样地，给定随机变量C，两个随机变量A和B是条件独立的（conditionally independent）， 当且仅当 P(A, B | C) = P(A | C) P(B | C)。这个情况表示为 $A\perp B|C$ 。

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3）期望和方差

随机变量X的 期望（expectation）或 平均值（average）：

• $E[X]={\sum }_{x}xP(X=x)$

当函数 f(x) 的输入是从分布 P 中抽取的随机变量时，f(x) 的期望值为：

• $E_{x\sim P}[f(x)]={\sum }_{x}f(x)P(x)$

有时，我们想衡量随机变量与其期望值的偏置。这可以通过 方差 来量化：

• $\mathrm{Var}[X]=E\left[(X-E[X]{)}^2\right]=E[X^2]-E[X{]}^2$

方差的平方根被称为 标准差（standard deviation）。

随机变量函数的方差衡量的是：当从该随机变量分布中采样不同值时， 函数值偏离该函数的期望的程度：

• $\mathrm{Var}[f(x)]=E\left[{\left(f(x)-E[f(x)]\right)}^2\right]$

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