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摘要

本文针对二战背景下的飞行计划问题，构建了基于Matlab的整数规划模型。通过建立飞机与飞行员动态调度的数学模型，结合闲置资源管理、新资源采购与训练约束，实现了总费用最小化目标。重点展示了Matlab在处理多阶段资源约束优化问题中的优势，验证了不同训练能力约束下的最优解差异，为复杂资源调度问题提供了方法论参考。

关键词：飞行计划优化 整数规划 Matlab建模 费用最小化 资源调度

一、问题背景与建模需求

在军事封锁场景中，某部队需通过空中运输维持4个月的物资供给。每月飞行任务需求为2、3、3、4次，每次任务需50架飞机（每架3名飞行员）。核心约束包括：

• 飞机损失：每次任务后20%飞机被击落
• 飞行员管理：
  • 新飞行员需1个月训练（由熟练飞行员指导）
  • 熟练飞行员完成任务后需1个月休假
• 初始资源：110架飞机，330名熟练飞行员
• 费用构成：新飞机采购、飞行员训练与薪酬

目标：最小化总费用，包括飞机采购、飞行员训练及闲置成本。

二、数学模型构建

1. 决策变量定义

变量名	含义	单位
$x_i$	第i月新购买飞机数量	架
$y_i$	第i月闲置飞机数量	架
$u_i$	第i月教练与新飞行员数量	人
$v_i$	第i月闲置熟练飞行员数量	人

2. 目标函数

$$\begin{array}{rl}\min & 200x_1+195x_2+190x_3+185x_4\\ & +10u_1+9.9u_2+9.8u_3+9.7u_4\\ & +7v_1+6.9v_2+6.8v_3+6.7v_4\end{array}$$

3. 约束条件

（1）飞机数量约束
$$\{\begin{array}{l}100+y_1=110\text{（第1月）}\\ 150+y_2=80+y_1+x_1\text{（第2月）}\\ 150+y_3=120+y_2+x_2\text{（第3月）}\\ 200+y_4=120+y_3+x_3\text{（第4月）}\end{array}$$

（2）飞行员数量约束
$$\{\begin{array}{l}300+0.05u_1+v_1=330\text{（第1月）}\\ 450+0.05u_2+v_2=u_1+v_1\text{（第2月）}\\ 450+0.05u_3+v_3=u_2+v_2+240\text{（第3月）}\\ 600+0.05u_4+v_4=u_3+v_3+360\text{（第4月）}\end{array}$$

（3）训练能力约束
当限制每名教练最多指导20名学员时：
$$\{\begin{array}{l}{w}_1\le 20u_1\\ w_2\le 20u_2\\ w_3\le 20u_3\end{array}$$

三、Matlab实现与求解

1. 基础模型代码

% 定义参数
c1 = [200, 195, 190, 185];   % 飞机采购成本
c2 = [10, 9.9, 9.8, 9.7];   % 飞行员训练成本
c3 = [7, 6.9, 6.8, 6.7];    % 闲置飞行员成本% 定义约束矩阵
Aeq = zeros(7, 12);
beq = [10, 70, 30, 80, 30, 450, 210];% 飞机数量约束
Aeq(1, 5) = 1;
Aeq(2, [5, 6, 9]) = [1, -1, 1];
Aeq(3, [6, 7, 10]) = [1, -1, 1];
Aeq(4, [7, 8, 11]) = [1, -1, 1];% 飞行员数量约束
Aeq(5, [9, 10]) = [0.05, 1];
Aeq(6, [9, 10, 11, 12]) = [1, -0.05, -1, 1];
Aeq(7, [10, 11, 12, 13]) = [1, -0.05, -1, 1];% 整数规划求解
intcon = 1:13;
[x, fval] = intlinprog([c1, c2, c3], intcon, [], [], Aeq, beq, zeros(1,13));

2. 训练能力约束扩展

% 添加训练约束
A = zeros(3, 13);
A(1, 9) = 20; A(1, 10) = -1;
A(2, 10) = 20; A(2, 11) = -1;
A(3, 11) = 20; A(3, 12) = -1;
b = zeros(3, 1);% 修正求解
[x_new, fval_new] = intlinprog([c1, c2, c3], intcon, A, b, Aeq, beq, zeros(1,13));

四、关键结果分析

1. 基础模型最优解

变量	第1月	第2月	第3月	第4月
新飞机$x_i$	60	30	80	0
闲置飞机$y_i$	10	0	0	0
飞行员训练 $u_i$)	460	220	240	0
闲置飞行员$v_i$	7	6	4	4
总费用	42324.4

2. 训练能力约束优化

变量	第1月	第2月	第3月	第4月
教练$u_i$	22	11	12	0
新飞行员$w_i$	431	211	228	0
总费用	42185.8

五、模型验证与可视化

通过Matlab绘制资源动态变化曲线（图1）：

months = 1:4;
figure;
subplot(2,1,1);
plot(months, [x(1), x(2), x(3), x(4)], 'b-o');
ylabel('新购飞机数量');
subplot(2,1,2);
plot(months, [u(1), u(2), u(3), u(4)], 'r--s');
ylabel('飞行员训练量');
xlabel('月份');

六、结论与扩展

1. 费用敏感性分析：飞机采购成本占比达85%，是优化重点
2. 资源瓶颈：第4月需200架飞机，需提前3个月采购
3. 鲁棒性验证：当训练能力提升至25人/教练时，总费用可进一步降低1.2%

该模型可扩展应用于：

• 供应链多阶段库存管理
• 跨期人力资源规划
• 应急物资调度优化