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切比雪夫不等式专题习题

前言

本文为概率论习题集专栏的切比雪夫不等式专题习题，共设计10道由浅入深的习题，涵盖基本概念、计算应用、理论证明与实际场景应用。建议先独立完成后再参考解析篇。

一、基础概念题

习题1： 判断题（请判断对错并解释）

1. 切比雪夫不等式只适用于离散型随机变量
2. 切比雪夫不等式给出的是一个下界而非上界
3. 对于任意随机变量X，有P(|X-E(X)| ≥ 2σ) ≤ 0.25
4. 当随机变量的方差趋于0时，该随机变量几乎必然等于其期望值

习题2： 设随机变量X的数学期望为μ=10，方差为σ²=9，利用切比雪夫不等式估计：

1. P(|X-10| ≥ 6)的上界
2. P(7 ≤ X ≤ 13)的下界
3. P(|X-10| ≥ 3)的上界

二、计算应用题

习题3： 某工厂生产的灯泡，寿命（小时）是一个随机变量X。已知E(X)=1000小时，D(X)=90000小时²。

1. 使用切比雪夫不等式估计寿命在700小时到1300小时之间的灯泡占总数的比例下界
2. 至少需要多大方差才能保证至少95%的灯泡寿命在500小时到1500小时之间？

习题4： 某测量仪器对同一物体进行n次测量，测量值X₁, X₂, …, Xₙ互相独立，且都服从同一分布，E(Xᵢ)=μ，D(Xᵢ)=σ²=4。记n次测量的平均值为X̄ₙ。使用切比雪夫不等式，确定n的最小值，使得P(|X̄ₙ-μ| < 0.5) ≥ 0.96。

三、证明与推导题

习题5： 已知马尔可夫不等式：若随机变量Y≥0，则对任意a>0，有P(Y≥a)≤E(Y)/a。请利用马尔可夫不等式证明切比雪夫不等式。

习题6： 证明单侧切比雪夫不等式：对任意随机变量X，对任意实数ε>0，有：

1. P(X-E(X) ≥ ε) ≤ D(X)/(D(X)+ε²)
2. P(E(X)-X ≥ ε) ≤ D(X)/(D(X)+ε²)

四、理解分析题

习题7： 比较切比雪夫不等式与正态分布"68-95-99.7"规则的区别。若某随机变量服从正态分布，E(X)=50，D(X)=16：

1. 使用切比雪夫不等式估计P(|X-50| ≤ 8)和P(|X-50| ≤ 12)的下界
2. 使用正态分布性质计算这两个概率的精确值
3. 比较两种方法得到的结果，并解释差异原因

习题8： 随机变量X的分布如下：P(X=0)=0.7，P(X=10)=0.2，P(X=20)=0.1。

1. 计算E(X)和D(X)
2. 计算P(|X-E(X)| ≥ 5)的确切值
3. 使用切比雪夫不等式估计P(|X-E(X)| ≥ 5)的上界
4. 比较切比雪夫不等式的估计值与实际概率，并讨论切比雪夫不等式的紧密程度

五、实际应用题

习题9： 某网络服务器每分钟接收的请求数量是一个随机变量X，具有均值E(X)=100和方差D(X)=400。运维团队需要评估服务器负载情况：

1. 使用切比雪夫不等式，估计请求数量超过160的概率上界
2. 若要确保服务器能够处理99%的流量情况，根据切比雪夫不等式，服务器每分钟至少需要能处理多少请求？

习题10： 设随机变量X₁, X₂, …, Xₙ互相独立，且E(Xᵢ)=μ，D(Xᵢ)=σ²。记Sₙ=X₁+X₂+…+Xₙ。

1. 证明对任意ε>0，有：P(|Sₙ/n-μ| ≥ ε) ≤ σ²/(nε²)
2. 这个结果与大数定律有什么联系？请解释。
3. 如果要使P(|Sₙ/n-μ| ≥ 0.1) ≤ 0.05，至少需要多少个样本？

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祝各位读者学习愉快！解析将在下一篇文章中呈现，建议先独立思考后再查看解答。若有疑问，欢迎在评论区讨论。