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前言

自然语言处理（NLP）是人工智能领域中一个充满活力和挑战的分支。要让计算机理解和处理人类语言，首要任务之一就是如何表示词汇。传统的独热编码（One-Hot Encoding）虽然简单直观，但在表达词与词之间的语义关系时显得力不从心。为了克服这一局限性，词嵌入（Word Embeddings）技术应运而生，其中 word2vec 是最具里程碑意义的模型之一。

本篇博客将深入探讨 word2vec 的核心思想和两种主要模型：Skip-Gram 和 CBOW（Continuous Bag-of-Words）。虽然标题提及 “PyTorch版”，但理解这些模型背后的数学原理和机制是进行任何框架（包括 PyTorch）实现的基础。因此，本文将重点放在理论阐述上，为后续的实践打下坚实的基础。

完整代码:下载链接

1. 为什么需要词嵌入？

自然语言是用来表达人脑思维的复杂系统。 在这个系统中，词是意义的基本单元。顾名思义， 词向量_是用于表示单词意义的向量， 并且还可以被认为是单词的特征向量或表示。 将单词映射到实向量的技术称为_词嵌入。 近年来，词嵌入逐渐成为自然语言处理的基础知识。

2. 早期尝试：独热向量 (One-Hot Vectors)

假设词典中不同词的数量（词典大小）为N，每个词对应一个从0到N−1的不同整数（索引）。为了得到索引为i的任意词的独热向量表示，需要创建一个全为0的长度为N的向量，并将位置i的元素设置为1。这样，每个词都被表示为一个长度为N的向量，可以直接由神经网络使用。

(示意图：假设词典大小为5，"猫"的索引为2，则其独热向量为[0,0,1,0,0])

独热向量的局限性

虽然独热向量很容易构建，但它们通常不是一个好的选择。一个主要原因是独热向量不能准确表达不同词之间的相似度，比如我们经常使用的“余弦相似度”。对于向量 $\mathbf{x},\mathbf{y}\in {\mathbb{R}}^d$，它们的余弦相似度是它们之间角度的余弦：

$\frac{{\mathbf{x}}^{\top }\mathbf{y}}{\Vert \mathbf{x}\Vert \Vert \mathbf{y}\Vert }\in [-1,1].$

由于任意两个不同词的独热向量之间的余弦相似度为0，所以独热向量不能编码词之间的相似性。例如，“猫”和“狗”在语义上是相关的，但它们的独热向量的点积为0，无法体现这种相关性。此外，当词典非常大时，独热向量会变得非常稀疏且维度极高，带来“维度灾难”问题。

3. 自监督的 word2vec

word2vec工具将每个词映射到一个固定长度的向量，这些向量能更好地表达不同词之间的相似性和类比关系。word2vec工具包含两个模型，即_跳元模型_（skip-gram）和_连续词袋_（CBOW）。对于在语义上有意义的表示，它们的训练依赖于条件概率，条件概率可以被看作使用语料库中一些词来预测另一些单词。由于是不带标签的数据，因此跳元模型和连续词袋都是自监督模型。

“自监督”意味着模型从数据本身创建标签。例如，在word2vec中，我们不是用人工标注的“情感类别”或“主题”来训练，而是利用词语在文本中的共现关系。模型试图根据一个词（中心词）预测其上下文词，或者根据上下文词预测中心词。

4. 跳元模型 (Skip-Gram Model)

跳元模型假设一个词可以用来在文本序列中生成其周围的单词。以文本序列“the”“man”“loves”“his”“son”为例。假设中心词选择“loves”，并将上下文窗口设置为2，如下图所示，给定中心词“loves”，跳元模型考虑生成上下文词“the”“man”“him”“son”的条件概率：

$P(\text{"the"},\text{"man"},\text{"his"},\text{"son"}|\text{"loves"}).$

假设上下文词是在给定中心词的情况下独立生成的（即条件独立性）。在这种情况下，上述条件概率可以重写为：

$P("the"\mid "loves")\cdot P("man"\mid "loves")\cdot P("his"\mid "loves")\cdot P("son"\mid "loves").$

在跳元模型中，每个词都有两个d维向量表示，用于计算条件概率。更具体地说，对于词典中索引为i的任何词，分别用 ${\mathbf{v}}_i\in {\mathbb{R}}^d$ 和 ${\mathbf{u}}_i\in {\mathbb{R}}^d$ 表示其用作_中心词_和_上下文词_时的两个向量。给定中心词 $w_c$ （词典中的索引c），生成任何上下文词 $w_o$ （词典中的索引o）的条件概率可以通过对向量点积的softmax操作来建模：

$P(w_o\mid w_c)=\frac{\exp ({\mathbf{u}}_o^{\top }{\mathbf{v}}_c)}{{\sum }_{i\in \mathcal{V}}\exp ({\mathbf{u}}_i^{\top }{\mathbf{v}}_c)},$

其中词表索引集 V = { 0 , 1 , … , ∣ V ∣ − 1 } \mathcal{V}=\{0,1,\ldots,|\mathcal{V}|-1\} V={0,1,…,∣V∣−1}。给定长度为T的文本序列，其中时间步t处的词表示为 $w^{(t)}$。假设上下文词是在给定任何中心词的情况下独立生成的。对于上下文窗口m，跳元模型的似然函数（Likelihood Function，用于度量在给定参数的情况下，观测数据出现的“可能性”有多大）是在给定任何中心词的情况下生成所有上下文词的概率：

${\prod }_{t=1}^T{\prod }_{-m\le j\le m,j\ne 0}P(w^{(t+j)}\mid w^{(t)}),$

其中可以省略小于1或大于T的任何时间步。

其中：

• 外层乘积是对整个句子（时间序列）中每一个词进行迭代；
• 内层乘积是对每个词周围的 2m 个邻近词（上下文）进行预测（排除自身 $j\ne 0$）；
• 即“每个词都作为中心词，预测它的上下文”。

这实际上是训练 Skip-Gram 模型时的目标函数（最大化这个联合概率，或最小化其负对数）。

4.1. 训练

跳元模型参数是词表中每个词的中心词向量和上下文词向量。在训练中，通过最大化似然函数（即极大似然估计）来学习模型参数。这相当于最小化以下损失函数：